Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Un cuerpo con un peso de $8\ \text{N}$ cuelga de un muelle y se mueve con un M.A.S. Si la amplitud es de $25\ \text{cm}$ y su velocidad máxima es de $3\ \text{m/s}$, calcule la distancia medida desde la posición de equilibrio en la que la energía cinética es $1{,}3\ \text{J}$.

En un movimiento armónico simple la energía mecánica se conserva y se reparte en cada instante entre energía cinética y energía potencial elástica:

$E_m = E_c + E_p = \dfrac12\,m\,v^2 + \dfrac12\,k\,x^2$

Primero se obtiene la masa del cuerpo a partir de su peso:

$P = m\,g\;\Rightarrow\; m = \dfrac{P}{g} = \dfrac{8}{9{,}8} = 0{,}816\ \text{kg}$

La frecuencia angular se deduce de la relación entre la velocidad máxima y la amplitud, ya que la velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max} = A\,\omega\;\Rightarrow\; \omega = \dfrac{v_{\max}}{A} = \dfrac{3}{0{,}25} = 12\ \text{rad/s}$

La energía mecánica total es la cinética en ese punto, donde la potencial es nula:

$E_m = \dfrac12\,m\,v_{\max}^2 = \dfrac12\cdot0{,}816\cdot3^2 = 3{,}67\ \text{J}$

En la posición pedida, la energía cinética vale $1{,}3\ \text{J}$, así que el resto es potencial:

$E_p = E_m - E_c = 3{,}67 - 1{,}3 = 2{,}37\ \text{J}$

Y de la expresión de la energía potencial elástica, con $k = m\,\omega^2$, se despeja la elongación:

$E_p = \dfrac12\,m\,\omega^2\,x^2\;\Rightarrow\; x = \sqrt{\dfrac{2E_p}{m\,\omega^2}}$

$x = \sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}37}{0{,}816\cdot12^2}} = 0{,}201\ \text{m}$

El cuerpo tiene una energía cinética de $1{,}3\ \text{J}$ a unos $20{,}1\ \text{cm}$ de la posición de equilibrio, a un lado y a otro de ella. El valor es coherente: como la energía cinética es algo mayor que la tercera parte de la total, la elongación tiene que quedar por debajo de la amplitud de $25\ \text{cm}$, pero no mucho.