Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Dos hilos conductores indefinidos paralelos al eje $Z$ (perpendicular al papel y saliente) pasan por los puntos $(2,0)\ \text{m}$ y $(0,4)\ \text{m}$, recorridos por una misma intensidad de corriente de $2\ \text{A}$ con los sentidos indicados en la figura: hacia afuera y hacia adentro.

a) Determine el módulo del vector campo magnético en el origen de coordenadas.

b) Determine justificadamente la fuerza por unidad de longitud con que interaccionan los cables, indicando si es atractiva o repulsiva.

c) Determine la intensidad que tenemos que dar al conductor de $(0,4)$ para que el campo resultante lleve la dirección de la bisectriz de los cuadrantes 1 y 3 (línea punteada).

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

$\textbf{a) Determine el módulo del vector campo magnético en el origen de coordenadas.}$










El campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ de él tiene por módulo:

$B = \dfrac{\mu_0\,I}{2\pi r}$

y su dirección y sentido los da la regla de la mano derecha: las líneas de campo son circunferencias que rodean al conductor.





Para el conductor que pasa por $(2,0)$, con la corriente saliente del papel y el origen situado a su izquierda, el campo en $O$ apunta en el sentido negativo del eje $Y$:

$r_1 = 2\ \text{m}$

$B_1 = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2}{2\pi\cdot2} = 2\cdot10^{-7}\ \text{T}$

$\vec B_1 = -2\cdot10^{-7}\,\vec{\jmath}\ \text{T}$

Para el conductor que pasa por $(0,4)$, con la corriente entrante y el origen situado por debajo de él, el campo en $O$ apunta en el sentido negativo del eje $X$:

$r_2 = 4\ \text{m}$

$B_2 = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2}{2\pi\cdot4} = 1\cdot10^{-7}\ \text{T}$

$\vec B_2 = -1\cdot10^{-7}\,\vec{\imath}\ \text{T}$

Por el principio de superposición:

$\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 = -10^{-7}\,\vec{\imath} - 2\cdot10^{-7}\,\vec{\jmath}\ \text{T}$

$|\vec B| = 10^{-7}\sqrt{1^2 + 2^2} = 2{,}24\cdot10^{-7}\ \text{T}$

$\textbf{b) Determine justificadamente la fuerza por unidad de longitud con que interaccionan los cables, indicando si es atractiva o repulsiva.}$

Cada conductor está inmerso en el campo creado por el otro, y sobre él aparece la fuerza magnética $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$. Combinando esa expresión con la del campo de un hilo indefinido se obtiene la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos:

$\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$

La distancia entre los dos cables es la que separa los puntos por los que pasan:

$d = |(0,4)-(2,0)| = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 4{,}47\ \text{m}$

$\dfrac{F}{L} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2\cdot2}{2\pi\cdot4{,}47} = 1{,}79\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$

Las corrientes circulan en sentidos contrarios —una sale del papel y la otra entra—, de modo que la fuerza es repulsiva. La regla es que dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen y dos de sentidos opuestos se repelen.

$\textbf{c) Determine la intensidad que tenemos que dar al conductor de } \boldsymbol{(0,4)}\textbf{ para que el campo resultante lleve la dirección de la bisectriz de los cuadrantes 1 y 3 (línea punteada).}$

La bisectriz de los cuadrantes primero y tercero es la recta $y = x$, así que la condición pedida es que las dos componentes del campo resultante sean iguales:

$B_x = B_y$

El campo del primer conductor no cambia, porque su intensidad sigue siendo la misma:

$B_y = -2\cdot10^{-7}\ \text{T}$

Y el del segundo, con una intensidad $I_2'$ por determinar:

$B_x = -\dfrac{\mu_0\,I_2'}{2\pi\cdot4} = -5\cdot10^{-8}\,I_2'$

Igualando ambas componentes:

$-5\cdot10^{-8}\,I_2' = -2\cdot10^{-7}\;\Rightarrow\; I_2' = 4\ \text{A}$

Hay que duplicar la intensidad del conductor de $(0,4)$ hasta los $4\ \text{A}$, manteniendo su sentido entrante. Con ese valor las dos componentes son negativas y el campo resultante apunta hacia el tercer cuadrante, sobre la bisectriz.