Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Dos esferas metálicas de radios $R_1$ y $R_2$, con $R_1 = 5 \cdot R_2$, se cargan de forma aislada de manera que la primera tenga 3 veces más carga que la segunda.

a) Determine cuál de las esferas tiene mayor potencial, y cuántas veces es mayor el de una que el de la otra.

b) Posteriormente se conectan eléctricamente entre sí, y se observa que intercambian $3\ \mu\text{C}$. Determine la carga inicial de cada una e indique cuál cede carga y cuál la absorbe.

c) Determine el cociente entre la fuerza de interacción entre las esferas antes y después del contacto, asumiendo que no ha cambiado la separación entre ellas.

$\textbf{a) Determine cuál de las esferas tiene mayor potencial, y cuántas veces es mayor el de una que el de la otra.}$










El potencial de una esfera conductora cargada coincide con el que crearía una carga puntual del mismo valor situada en su centro:

$V = K\dfrac{Q}{R}$

Se hace el cociente entre los dos potenciales y se sustituyen las relaciones del enunciado, $R_1 = 5R_2$ y $Q_1 = 3Q_2$:

$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{Q_1/R_1}{Q_2/R_2} = \dfrac{3Q_2/(5R_2)}{Q_2/R_2} = \dfrac35$





Por tanto:

$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac53 = 1{,}67$

La esfera pequeña, la 2, es la que está a mayor potencial: exactamente $5/3$ veces el de la grande. Aunque tiene tres veces menos carga, su radio es cinco veces menor, y en el potencial el radio pesa más.

$\textbf{b) Posteriormente se conectan eléctricamente entre sí, y se observa que intercambian } \boldsymbol{3\ \mu\text{C}}\textbf{. Determine la carga inicial de cada una e indique cuál cede carga y cuál la absorbe.}$

Al conectarlas forman un único conductor, así que la carga se redistribuye hasta que los potenciales se igualan:

$K\dfrac{Q_1'}{R_1} = K\dfrac{Q_2'}{R_2}\;\Rightarrow\; \dfrac{Q_1'}{5R_2} = \dfrac{Q_2'}{R_2}\;\Rightarrow\; Q_1' = 5\,Q_2'$

A lo que se añade la conservación de la carga:

$Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 3Q_2 + Q_2 = 4Q_2$

Sustituyendo la primera relación en la segunda:

$5Q_2' + Q_2' = 4Q_2\;\Rightarrow\; Q_2' = \dfrac{2}{3}\,Q_2$

La esfera pequeña se queda con dos tercios de la carga que tenía, es decir, cede un tercio, que es lo que el enunciado cuantifica en $3\ \mu\text{C}$:

$Q_2 - Q_2' = Q_2 - \dfrac23 Q_2 = \dfrac13\,Q_2 = 3\ \mu\text{C}\;\Rightarrow\; Q_2 = 9\ \mu\text{C}$

$Q_1 = 3\,Q_2 = 27\ \mu\text{C}$

La esfera 2, la de menor radio, cede los $3\ \mu\text{C}$ y la esfera 1 los absorbe, tal y como cabía esperar del apartado anterior: la carga fluye siempre del conductor a mayor potencial al de menor potencial.

Las cargas finales son:

$Q_2' = \dfrac23\cdot9 = 6\ \mu\text{C}\qquad Q_1' = 5\cdot6 = 30\ \mu\text{C}$

$\textbf{c) Determine el cociente entre la fuerza de interacción entre las esferas antes y después del contacto, asumiendo que no ha cambiado la separación entre ellas.}$

La fuerza entre las dos esferas viene dada por la ley de Coulomb:

$F = K\dfrac{Q_1\,Q_2}{d^2}$

Como la distancia no cambia, el cociente entre las dos fuerzas es simplemente el cociente entre los productos de las cargas:

$\dfrac{F_{\text{antes}}}{F_{\text{después}}} = \dfrac{Q_1\,Q_2}{Q_1'\,Q_2'} = \dfrac{27\cdot9}{30\cdot6} = \dfrac{243}{180}$

$\dfrac{F_{\text{antes}}}{F_{\text{después}}} = 1{,}35$

La repulsión disminuye un $26\ \%$ tras el contacto: la carga total es la misma, pero repartida de forma más desigual, y el producto de dos números de suma constante es tanto menor cuanto más distintos son entre sí.