Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Como por su propia naturaleza son invisibles, los agujeros negros tienen que ser detectados de manera indirecta. El primero en serlo fue Cygnus X-1, un objeto invisible en torno al cual se veía dar vueltas a una estrella de 30 veces la masa del Sol con un periodo de $5{,}6$ días. La masa que se deduce para el agujero negro es de 7 veces la del Sol.

a) Deduzca la tercera ley de Kepler y aplíquela en este caso para determinar el radio de la órbita de la estrella en torno al agujero negro, expresada en unidades astronómicas (UA).

b) Supongamos que en este caso el radio del agujero negro es justo el necesario para que la velocidad de escape en su superficie sea la de la luz. Deduzca la expresión de la velocidad de escape y determine el radio del agujero negro, en km.

c) Si colocamos un cuerpo en reposo a $1\,000\ \text{km}$ del centro del agujero negro y lo dejamos caer, ¿qué velocidad llevará (en km/s) cuando haya reducido esa distancia a la cuarta parte?

Datos: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_{\text{Sol}} = 2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$; $1\ \text{UA} = 1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) Deduzca la tercera ley de Kepler y aplíquela en este caso para determinar el radio de la órbita de la estrella en torno al agujero negro, expresada en unidades astronómicas (UA).}$










La única fuerza que actúa sobre la estrella es la atracción gravitatoria del agujero negro, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza hace de centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = m\,\dfrac{v^2}{r}$

Y sustituyendo la velocidad orbital por su expresión en función del periodo:

$v = \dfrac{2\pi r}{T}$





$G\dfrac{M}{r^2} = \dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$

$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$

que es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita, con una constante que solo depende de la masa del astro central.

Se despeja el radio y se sustituyen los datos, con la masa del agujero negro y el periodo en unidades del Sistema Internacional:

$M = 7\,M_{\text{Sol}} = 7\cdot2\cdot10^{30} = 1{,}4\cdot10^{31}\ \text{kg}$

$T = 5{,}6\ \text{días}\cdot86\,400\ \dfrac{\text{s}}{\text{día}} = 4{,}84\cdot10^{5}\ \text{s}$

$r = \sqrt[3]{\dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}4\cdot10^{31}\cdot(4{,}84\cdot10^{5})^2}{4\pi^2}}$

$r = 1{,}77\cdot10^{10}\ \text{m}$

Y expresado en unidades astronómicas:

$r = \dfrac{1{,}77\cdot10^{10}}{1{,}5\cdot10^{11}} = 0{,}118\ \text{UA}$

La estrella orbita a poco más de una décima de unidad astronómica, mucho más cerca de lo que está Mercurio del Sol.

$\textbf{b) Deduzca la expresión de la velocidad de escape y determine el radio del agujero negro, en km.}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = 0 + 0$

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

La condición del enunciado es que esa velocidad sea la de la luz, que es precisamente la definición de radio de Schwarzschild:

$c = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\;\Rightarrow\; R = \dfrac{2GM}{c^2}$

$R = \dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}4\cdot10^{31}}{(3\cdot10^{8})^2} = 2{,}08\cdot10^{4}\ \text{m}$

$R = 20{,}8\ \text{km}$

Siete masas solares concentradas en una esfera de apenas $21\ \text{km}$ de radio: ni siquiera la luz puede escapar de su superficie, y de ahí que el objeto sea invisible.

$\textbf{c) Si colocamos un cuerpo en reposo a } \boldsymbol{1\,000\ \text{km}}\textbf{ del centro del agujero negro y lo dejamos caer, ¿qué velocidad llevará (en km/s) cuando haya reducido esa distancia a la cuarta parte?}$

De nuevo se conserva la energía mecánica entre las dos posiciones, partiendo del reposo:

$0 - G\dfrac{M\,m}{r_1} = \dfrac12\,m\,v^2 - G\dfrac{M\,m}{r_2}$

Se simplifica la masa del cuerpo y se despeja la velocidad:

$v = \sqrt{2GM\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1}\right)}$

Con $r_1 = 10^{6}\ \text{m}$ y $r_2 = r_1/4 = 2{,}5\cdot10^{5}\ \text{m}$:

$v = \sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}4\cdot10^{31}\left(\dfrac{1}{2{,}5\cdot10^{5}} - \dfrac{1}{10^{6}}\right)}$

$v = 7{,}49\cdot10^{7}\ \text{m/s} = 7{,}49\cdot10^{4}\ \text{km/s}$

El cuerpo llega con unos $74\,900\ \text{km/s}$, la cuarta parte de la velocidad de la luz. A velocidades así el tratamiento newtoniano ya solo es una aproximación, pero es el que corresponde a los datos del enunciado.