Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2024

Un vibrador a $400\ \text{Hz}$ genera una onda armónica en una cuerda que se propaga en sentido negativo del eje $x$ con una longitud de onda de $2\ \text{m}$. La velocidad máxima con que oscila un punto cualquiera de la onda es $100\ \text{m/s}$. Determine:

a) La frecuencia angular y el número de ondas.

b) La amplitud de las ondas y su velocidad de propagación por la cuerda.

c) Teniendo en cuenta que un punto situado en $x = 0$ cuando $t = 300\ \mu\text{s}$ presenta una elongación de $1\ \text{cm}$ y velocidad de oscilación positiva, determine el desfase de la onda (en radianes) y escriba su función de onda completa.

$\textbf{a) La frecuencia angular y el número de ondas.}$

La frecuencia angular y el número de ondas se obtienen directamente de la frecuencia y de la longitud de onda que da el enunciado:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot400 = 800\pi = 2{,}51\cdot10^{3}\ \text{rad/s}$

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi = 3{,}14\ \text{rad/m}$

$\textbf{b) La amplitud de las ondas y su velocidad de propagación por la cuerda.}$

Conviene no confundir las dos velocidades que aparecen en una onda: la de propagación, con la que avanza la perturbación por la cuerda, y la de oscilación, con la que cada punto se mueve arriba y abajo. El enunciado da esta última.

La velocidad de oscilación es la derivada temporal de la elongación, y su valor máximo se alcanza al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{y,\max} = A\,\omega\;\Rightarrow\; A = \dfrac{v_{y,\max}}{\omega}$

$A = \dfrac{100}{800\pi} = 3{,}98\cdot10^{-2}\ \text{m} = 3{,}98\ \text{cm}$

La velocidad de propagación es la que relaciona la longitud de onda con la frecuencia:

$v = \lambda\,f = 2\cdot400 = 800\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Determine el desfase de la onda (en radianes) y escriba su función de onda completa.}$

La onda avanza en el sentido negativo del eje $X$, de modo que los términos espacial y temporal llevan el mismo signo:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)$

Se impone la condición del enunciado en $x = 0$ y $t = 3\cdot10^{-4}\ \text{s}$:

$0{,}01 = 3{,}98\cdot10^{-2}\,\text{sen}\left(800\pi\cdot3\cdot10^{-4} + \varphi_0\right)$

$\text{sen}\left(0{,}754 + \varphi_0\right) = \dfrac{0{,}01}{3{,}98\cdot10^{-2}} = 0{,}251$

lo que deja dos posibilidades para el argumento del seno:

$0{,}754 + \varphi_0 = 0{,}254\ \text{rad}\qquad\text{o}\qquad 0{,}754 + \varphi_0 = \pi - 0{,}254 = 2{,}888\ \text{rad}$

La condición de que la velocidad de oscilación sea positiva permite elegir entre ellas:

$v_y = A\,\omega\cos(\omega t + kx + \varphi_0) > 0\;\Rightarrow\;\cos(\omega t + \varphi_0) > 0$

El coseno solo es positivo en el primer caso, así que:

$\varphi_0 = 0{,}254 - 0{,}754 = -0{,}50\ \text{rad}$

Y la función de onda completa, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t) = 3{,}98\cdot10^{-2}\,\text{sen}\left(800\pi\,t + \pi\,x - 0{,}50\right)\ \text{m}$