Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

El exoplaneta Kepler-442b es de momento el más parecido a la Tierra de todos los descubiertos. Si hiciésemos un experimento de medida del periodo de un péndulo de $m = 20\ \text{g}$ para determinar su valor, contando el tiempo que tarda en oscilar 5 veces, obtendríamos los siguientes resultados cuando la longitud del péndulo es $30\ \text{cm}$:

Medida	1	2	3	4	5	6 $t_5\ \text{(s)}$	4,95	5,02	5,12	4,92	4,89	4,91

Explique el procedimiento para determinar el valor de la gravedad en la superficie del planeta y calcule su valor. ¿Qué valor habríamos obtenido con un péndulo que tuviera el doble de masa?

Un péndulo simple de longitud $L$ oscila con un movimiento armónico simple de periodo:

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

de donde se despeja la gravedad del lugar:

$T^2 = 4\pi^2\dfrac{L}{g}\;\Rightarrow\; g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$

El procedimiento experimental consta de tres pasos:

i) Se mide con un cronómetro el tiempo que tarda el péndulo en completar cinco oscilaciones. Se cronometran varias oscilaciones seguidas, y no una sola, porque así el error de reacción al accionar el cronómetro se reparte entre todas ellas y afecta cinco veces menos al periodo.

ii) Se repite la medida varias veces y se toma la media aritmética, que es el valor que mejor representa el conjunto:

$\overline{t_5} = \dfrac{4{,}95 + 5{,}02 + 5{,}12 + 4{,}92 + 4{,}89 + 4{,}91}{6} = 4{,}968\ \text{s}$

$T = \dfrac{\overline{t_5}}{5} = \dfrac{4{,}968}{5} = 0{,}994\ \text{s}$

iii) Se sustituye en la expresión de la gravedad, con la longitud en unidades del Sistema Internacional:

$L = 30\ \text{cm} = 0{,}30\ \text{m}$

$g = \dfrac{4\pi^2\cdot0{,}30}{0{,}994^2} = 12{,}0\ \text{m/s}^2$

La gravedad en la superficie de Kepler-442b resulta ser de unos $12{,}0\ \text{m/s}^2$, algo mayor que la terrestre.

Con un péndulo del doble de masa se habría obtenido exactamente el mismo valor. La masa no aparece en la expresión del periodo: la fuerza recuperadora es la componente tangencial del peso, proporcional a la masa, y la inercia que se opone al movimiento también lo es, de modo que la masa se simplifica y no influye en el periodo.