Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Dos esferas conductoras de radios $80\ \text{cm}$ y $40\ \text{cm}$ tienen una carga de $16\ \text{C}$ cada una. Se colocan en el vacío y muy alejadas entre sí. Determine la carga final de cada una tras unirlas mediante un hilo conductor de capacidad despreciable.

Al unir las dos esferas con un hilo conductor forman un único conductor, y en el equilibrio electrostático todo conductor está a un mismo potencial. La carga se redistribuye entre ambas hasta que se igualan los potenciales.

El potencial de una esfera conductora de radio $R$ con carga $Q$ coincide con el que crearía una carga puntual situada en su centro:

$V = K\dfrac{Q}{R}$

La condición de equilibrio es, entonces:

$V_1 = V_2\;\Rightarrow\; K\dfrac{Q_1'}{R_1} = K\dfrac{Q_2'}{R_2}\;\Rightarrow\; \dfrac{Q_1'}{R_1} = \dfrac{Q_2'}{R_2}$

A esto se añade la conservación de la carga: la carga total no cambia al unirlas, solo se reparte.

$Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 16 + 16 = 32\ \text{C}$

Se resuelve el sistema con $R_1 = 0{,}80\ \text{m}$ y $R_2 = 0{,}40\ \text{m}$:

$\dfrac{Q_1'}{0{,}80} = \dfrac{Q_2'}{0{,}40}\;\Rightarrow\; Q_1' = 2\,Q_2'$

$2\,Q_2' + Q_2' = 32\;\Rightarrow\; Q_2' = \dfrac{32}{3} = 10{,}7\ \text{C}$

$Q_1' = 2\cdot\dfrac{32}{3} = \dfrac{64}{3} = 21{,}3\ \text{C}$

La esfera de $80\ \text{cm}$ termina con $21{,}3\ \text{C}$ y la de $40\ \text{cm}$ con $10{,}7\ \text{C}$. La carga se reparte en proporción a los radios, de modo que la esfera pequeña cede $5{,}3\ \text{C}$ a la grande: partiendo de la misma carga, la de menor radio estaba a mayor potencial.