Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

Un trozo de papel (producido a partir de materia vegetal antiguamente viva), extraído de los Manuscritos del Mar Muerto, tiene una actividad de $10{,}93$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono. Calcule la edad de los Manuscritos sabiendo que la actividad radiactiva del carbono atmosférico (C-14) es $13{,}6$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono.

Dato: periodo de semidesintegración del C-14 $= 5\,730$ años.

La actividad de una muestra radiactiva es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar, de modo que sigue la misma ley exponencial que estos:

$A = A_0\,e^{-\lambda t}$

La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración, que es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad:

$T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\;\Rightarrow\; \lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

$\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730} = 1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

El método de datación por carbono-14 se apoya en que, mientras el organismo está vivo, intercambia carbono con la atmósfera y su actividad se mantiene en el valor atmosférico; cuando muere, deja de renovarlo y la actividad empieza a decaer. Por tanto, la actividad inicial de la muestra era la del carbono atmosférico:

$A_0 = 13{,}6\ \text{desintegraciones}\cdot\text{min}^{-1}\cdot\text{g}^{-1}$

$A = 10{,}93\ \text{desintegraciones}\cdot\text{min}^{-1}\cdot\text{g}^{-1}$

Se despeja el tiempo transcurrido tomando logaritmos:

$\dfrac{A}{A_0} = e^{-\lambda t}\;\Rightarrow\; \ln\dfrac{A_0}{A} = \lambda\,t$

$t = \dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A} = \dfrac{\ln\left(\dfrac{13{,}6}{10{,}93}\right)}{1{,}21\cdot10^{-4}}$

$t = \dfrac{0{,}219}{1{,}21\cdot10^{-4}} = 1{,}81\cdot10^{3}\ \text{años}$

Los Manuscritos del Mar Muerto tienen unos $1\,810$ años, una edad muy inferior al periodo de semidesintegración del $^{14}\text{C}$, lo que es coherente con que la actividad haya bajado bastante menos de la mitad.