Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Al llegar a una superficie, una radiación arranca electrones con una velocidad de $10^{5}\ \text{m/s}$. Si dicha radiación tiene una longitud de onda $\lambda = 1{,}5\ \mu\text{m}$, calcule el trabajo de extracción y la frecuencia umbral del elemento.

Datos: $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

Según la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción —la energía mínima necesaria para arrancar el electrón del metal— y la energía cinética con la que este sale:

$E_{\text{fotón}} = W_0 + E_{c,\max}$

La energía del fotón se obtiene de la relación de Planck:

$E_{\text{fotón}} = h\,f = h\dfrac{c}{\lambda}$





Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional y se sustituyen:

$\lambda = 1{,}5\ \mu\text{m} = 1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{m}$

$E_{\text{fotón}} = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}5\cdot10^{-6}} = 1{,}33\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La energía cinética de los electrones emitidos es:

$E_{c,\max} = \dfrac12\,m_e\,v^2 = \dfrac12\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(10^{5})^2 = 4{,}56\cdot10^{-21}\ \text{J}$

De donde el trabajo de extracción vale:

$W_0 = E_{\text{fotón}} - E_{c,\max} = 1{,}33\cdot10^{-19} - 4{,}56\cdot10^{-21}$

$W_0 = 1{,}28\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Expresado en electronvoltios, que es la unidad habitual para esta magnitud:

$W_0 = \dfrac{1{,}28\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 0{,}80\ \text{eV}$

La frecuencia umbral es aquella para la que el fotón tiene justo la energía del trabajo de extracción, de modo que el electrón sale con velocidad nula:

$W_0 = h\,f_0\;\Rightarrow\; f_0 = \dfrac{W_0}{h}$

$f_0 = \dfrac{1{,}28\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} = 1{,}93\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

El trabajo de extracción del elemento es $0{,}80\ \text{eV}$ y su frecuencia umbral, $1{,}93\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, que corresponde al infrarrojo.