Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Un haz de electrones circula en la dirección horizontal (eje $+X$) dentro de un tubo de vacío con una velocidad de $10^{6}\ \text{m/s}$, y entra en una región donde aplicamos mediante un imán un campo magnético de $0{,}04\ \text{T}$ en la dirección vertical (eje $+Y$).

a) Escriba la expresión vectorial de la fuerza que aparece sobre los electrones en este caso, y describa cualitativamente en base a ella la trayectoria que seguirán, incluyendo un esquema.

b) Calcule los valores numéricos del radio y del periodo del movimiento, deduciendo las expresiones correspondientes.

c) Queremos añadir un campo eléctrico que pueda mantener la trayectoria lineal original. Indique en qué dirección y sentido tendríamos que aplicarlo y cuál debería ser su valor.

Datos: $m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $q_e = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Escriba la expresión vectorial de la fuerza que aparece sobre los electrones en este caso, y describa cualitativamente en base a ella la trayectoria que seguirán, incluyendo un esquema.}$










La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz:

$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$

Con los datos del enunciado, $\vec v = 10^{6}\,\vec{\imath}\ \text{m/s}$ y $\vec B = 0{,}04\,\vec{\jmath}\ \text{T}$:

$\vec v\times\vec B = 10^{6}\cdot0{,}04\,(\vec{\imath}\times\vec{\jmath}) = 4\cdot10^{4}\,\vec k$





Como la carga del electrón es negativa, la fuerza tiene el sentido contrario:

$\vec F = -1{,}6\cdot10^{-19}\cdot4\cdot10^{4}\,\vec k = -6{,}4\cdot10^{-15}\,\vec k\ \text{N}$

La fuerza es perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia: solo cambia su dirección. Y como también es perpendicular al campo, el movimiento se mantiene en el plano $XZ$. Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es una fuerza centrípeta: los electrones describen un movimiento circular uniforme.

$\textbf{b) Calcule los valores numéricos del radio y del periodo del movimiento, deduciendo las expresiones correspondientes.}$

Se aplica la segunda ley de Newton identificando la fuerza magnética con la centrípeta:

$|q|\,v\,B = \dfrac{m\,v^2}{r}\;\Rightarrow\; r = \dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

$r = \dfrac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}04} = 1{,}42\cdot10^{-4}\ \text{m}$

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer una circunferencia completa:

$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{|q|\,B} = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B}$

$T = \dfrac{2\pi\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}04} = 8{,}93\cdot10^{-10}\ \text{s}$

Conviene destacar que el periodo no depende de la velocidad: todos los electrones tardan lo mismo en dar una vuelta, viajen deprisa o despacio.

$\textbf{c) Queremos añadir un campo eléctrico que pueda mantener la trayectoria lineal original. Indique en qué dirección y sentido tendríamos que aplicarlo y cuál debería ser su valor.}$

Para que la trayectoria siga siendo rectilínea la fuerza total sobre el electrón tiene que anularse, que es el principio del selector de velocidades:

$\vec F_{\text{total}} = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B) = \vec 0$

$\vec E = -\,\vec v\times\vec B = -4\cdot10^{4}\,\vec k\ \text{V/m}$

El campo eléctrico debe tener la dirección del eje $Z$ y sentido negativo, con un módulo de:

$E = v\,B = 10^{6}\cdot0{,}04 = 4\cdot10^{4}\ \text{V/m}$

Obsérvese que la condición no depende ni del signo ni del valor de la carga, sino solo de su velocidad: por eso este montaje selecciona velocidades.