Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Tres cargas, $A$, $B$ y $C$, se colocan en los puntos $(-1,0)$, $(2,0)$ y $(1,2)$ respectivamente, como se muestra en el esquema (coordenadas en metros). Las cargas $A$ y $B$ valen $2\ \mu\text{C}$, y sabemos que el potencial en el punto $(0,1)$ es $1\,685{,}9\ \text{V}$.

a) Determine el valor de la carga $C$.

b) Calcule el trabajo necesario para mover una carga de $5\ \mu\text{C}$ desde el punto $(0,1)$ hasta $(1,0)$. Interprete el signo del trabajo obtenido.

c) Determine el valor del vector campo eléctrico en este último punto $(1,0)$ debido a las cargas $A$, $B$ y $C$.

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$.

$\textbf{a) Determine el valor de la carga } \boldsymbol{C}\textbf{.}$

El potencial eléctrico es una magnitud escalar, así que por el principio de superposición basta sumar el creado por cada carga, sin preocuparse de direcciones:

$V = K\dfrac{q}{r}$

Las distancias desde cada vértice hasta el punto $(0,1)$ son:

$r_A = |(0,1)-(-1,0)| = |(1,1)| = \sqrt2 = 1{,}41\ \text{m}$

$r_B = |(0,1)-(2,0)| = |(-2,1)| = \sqrt5 = 2{,}24\ \text{m}$

$r_C = |(0,1)-(1,2)| = |(-1,-1)| = \sqrt2 = 1{,}41\ \text{m}$

Por tanto, el potencial en ese punto es:

$V_{(0,1)} = K\left(\dfrac{q_A}{r_A} + \dfrac{q_B}{r_B} + \dfrac{q_C}{r_C}\right) = 1\,685{,}9\ \text{V}$

Se calcula la aportación de las dos cargas conocidas:

$K\dfrac{q_A}{r_A} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{\sqrt2} = 1{,}27\cdot10^{4}\ \text{V}$

$K\dfrac{q_B}{r_B} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{\sqrt5} = 8{,}05\cdot10^{3}\ \text{V}$

Y se despeja la carga que falta:

$K\dfrac{q_C}{r_C} = 1\,685{,}9 - 1{,}27\cdot10^{4} - 8{,}05\cdot10^{3} = -1{,}91\cdot10^{4}\ \text{V}$

$q_C = \dfrac{-1{,}91\cdot10^{4}\cdot\sqrt2}{9\cdot10^{9}} = -3{,}0\cdot10^{-6}\ \text{C}$

La carga situada en $C$ vale $-3\ \mu\text{C}$. Que salga negativa era previsible: las dos cargas positivas por sí solas crean en ese punto un potencial de unos $21\,000\ \text{V}$, muy superior al del enunciado.

$\textbf{b) Calcule el trabajo necesario para mover una carga de } \boldsymbol{5\ \mu\text{C}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(0,1)}\textbf{ hasta } \boldsymbol{(1,0)}\textbf{. Interprete el signo del trabajo obtenido.}$

Primero se calcula el potencial en el punto de llegada. Las distancias desde cada carga hasta $(1,0)$ son:

$r_A = |(1,0)-(-1,0)| = 2\ \text{m}\qquad r_B = |(1,0)-(2,0)| = 1\ \text{m}\qquad r_C = |(1,0)-(1,2)| = 2\ \text{m}$

$V_{(1,0)} = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{2\cdot10^{-6}}{2} + \dfrac{2\cdot10^{-6}}{1} + \dfrac{-3\cdot10^{-6}}{2}\right)$

$V_{(1,0)} = 9\cdot10^{9}\cdot1{,}5\cdot10^{-6} = 1{,}35\cdot10^{4}\ \text{V}$

El trabajo que realiza el campo eléctrico al trasladar una carga entre dos puntos es:

$W = q\,(V_{\text{inicial}} - V_{\text{final}})$

$W = 5\cdot10^{-6}\,(1\,685{,}9 - 1{,}35\cdot10^{4}) = -5{,}91\cdot10^{-2}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo, lo que significa que el desplazamiento no es espontáneo: el campo se opone a él. Para llevar la carga de $(0,1)$ a $(1,0)$ hay que aplicar una fuerza externa que aporte $5{,}91\cdot10^{-2}\ \text{J}$.

$\textbf{c) Determine el valor del vector campo eléctrico en este último punto } \boldsymbol{(1,0)}\textbf{ debido a las cargas } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{.}$










El campo creado por una carga puntual es:

$\vec E = K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$

y sale de las cargas positivas y entra en las negativas.

Campo creado por $A(-1,0)$, a $2\ \text{m}$, dirigido en el sentido $+X$:

$\vec E_A = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{2^2}\,\vec{\imath} = 4\,500\,\vec{\imath}\ \text{N/C}$





Campo creado por $B(2,0)$, a $1\ \text{m}$, dirigido en el sentido $-X$:

$\vec E_B = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{1^2}\,(-\vec{\imath}) = -18\,000\,\vec{\imath}\ \text{N/C}$

Campo creado por $C(1,2)$, a $2\ \text{m}$. Como la carga es negativa el campo apunta hacia ella, es decir, en el sentido $+Y$:

$\vec E_C = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{3\cdot10^{-6}}{2^2}\,\vec{\jmath} = 6\,750\,\vec{\jmath}\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E = \vec E_A + \vec E_B + \vec E_C = -13\,500\,\vec{\imath} + 6\,750\,\vec{\jmath}\ \text{N/C}$

Y su módulo:

$|\vec E| = \sqrt{13\,500^2 + 6\,750^2} = 1{,}51\cdot10^{4}\ \text{N/C}$