Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Nos encontramos en una nave espacial de $50\,000\ \text{kg}$ sobre la superficie de Mercurio. Sabemos que el radio de este planeta es $2\,440\ \text{km}$ y su masa $3{,}3 \cdot 10^{23}\ \text{kg}$.

a) Determine el valor de la gravedad en la superficie de Mercurio y el peso que tendrá allí la nave.

b) Deduzca la expresión de la velocidad que necesita la nave para abandonar el planeta y calcule su valor para este caso.

c) Suponiendo que cuando se encuentre a una altura de 9 veces el radio de Mercurio su velocidad sea $1\ \text{km/s}$, determine a qué altura (en km) se parará antes de volver a caer sobre Mercurio.

Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Determine el valor de la gravedad en la superficie de Mercurio y el peso que tendrá allí la nave.}$










La intensidad del campo gravitatorio creado por un planeta a una distancia $r$ de su centro se obtiene de la ley de gravitación universal de Newton:

$g = G\dfrac{M}{r^2}$

Sobre la superficie la distancia al centro es el propio radio del planeta:

$g = G\dfrac{M}{R^2}$





Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional y se sustituyen:

$R = 2\,440\ \text{km} = 2{,}44\cdot10^{6}\ \text{m}$

$g = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{3{,}3\cdot10^{23}}{(2{,}44\cdot10^{6})^2} = 3{,}70\ \text{m/s}^2$

El peso de la nave es la fuerza con que el planeta la atrae:

$P = m\,g = 50\,000\cdot3{,}70 = 1{,}85\cdot10^{5}\ \text{N}$

La gravedad en Mercurio es $3{,}70\ \text{m/s}^2$, poco más de un tercio de la terrestre, y allí la nave pesa $1{,}85\cdot10^{5}\ \text{N}$.

$\textbf{b) Deduzca la expresión de la velocidad que necesita la nave para abandonar el planeta y calcule su valor para este caso.}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula. El campo gravitatorio es conservativo y no actúa ninguna otra fuerza, de modo que la energía mecánica se conserva entre la superficie y el infinito:

$E_c(R) + E_p(R) = E_c(\infty) + E_p(\infty)$

En el infinito ambas energías son nulas:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = 0$

Se simplifica la masa de la nave —la velocidad de escape no depende de ella— y se despeja:

$\dfrac12\,v_{\text{esc}}^2 = G\dfrac{M}{R}\;\Rightarrow\; v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

Se sustituyen los datos:

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}3\cdot10^{23}}{2{,}44\cdot10^{6}}} = 4{,}25\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La nave necesita despegar a $4{,}25\ \text{km/s}$ para abandonar Mercurio.

$\textbf{c) Suponiendo que cuando se encuentre a una altura de 9 veces el radio de Mercurio su velocidad sea } \boldsymbol{1\ \text{km/s}}\textbf{, determine a qué altura (en km) se parará antes de volver a caer sobre Mercurio.}$

A una altura de nueve radios, la distancia al centro del planeta es:

$r_0 = R + 9R = 10R = 2{,}44\cdot10^{7}\ \text{m}$

De nuevo se conserva la energía mecánica entre esa posición y la de altura máxima, donde la nave se para:

$\dfrac12\,m\,v_0^2 - G\dfrac{M\,m}{r_0} = 0 - G\dfrac{M\,m}{r_{\max}}$

Se simplifica la masa y se despeja la distancia pedida:

$\dfrac{GM}{r_{\max}} = \dfrac{GM}{r_0} - \dfrac{v_0^2}{2}$

$r_{\max} = \dfrac{GM}{\dfrac{GM}{r_0} - \dfrac{v_0^2}{2}}$

Se sustituyen los datos:

$\dfrac{GM}{r_0} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}3\cdot10^{23}}{2{,}44\cdot10^{7}} = 9{,}02\cdot10^{5}\ \text{J/kg}$

$\dfrac{v_0^2}{2} = \dfrac{(10^{3})^2}{2} = 5\cdot10^{5}\ \text{J/kg}$

$r_{\max} = \dfrac{2{,}20\cdot10^{13}}{9{,}02\cdot10^{5} - 5\cdot10^{5}} = 5{,}47\cdot10^{7}\ \text{m}$

Y la altura sobre la superficie es esa distancia menos el radio del planeta:

$h_{\max} = r_{\max} - R = 5{,}47\cdot10^{7} - 2{,}44\cdot10^{6} = 5{,}23\cdot10^{7}\ \text{m}$

$h_{\max} = 5{,}23\cdot10^{4}\ \text{km}$

La nave se detiene a unos $52\,300\ \text{km}$ de altura antes de volver a caer. Como era de esperar, la velocidad de $1\ \text{km/s}$ no basta para escapar: la energía mecánica sigue siendo negativa y la nave queda ligada al planeta.