Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2024

Una onda armónica se propaga por el espacio a una velocidad de $350\ \text{m/s}$, y viene descrita por la siguiente función de onda: $y(x,t) = 5\,\text{sen}(kx - 10\pi t + \phi)$, todas las unidades en el SI. Sabiendo que $y(0,0) = 2{,}5\ \text{m}$ y que la velocidad de oscilación en $(0,0)$ es negativa, determine, justificadamente, lo siguiente:

a) Valores del número de ondas y del desfase inicial.

b) Valor numérico de la velocidad de oscilación en $(0,0)$ y velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del espacio $(x)$.

c) Aceleración máxima de oscilación de un punto cualquiera $(x)$, y diferencia de fase (expresada en grados) para un punto cualquiera entre dos instantes de tiempo separados $0{,}025\ \text{s}$.

$\textbf{a) Valores del número de ondas y del desfase inicial.}$

Comparando la función del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje $X$:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(kx - \omega t + \varphi_0)$

se identifican directamente la amplitud y la frecuencia angular:

$A = 5\ \text{m}\qquad \omega = 10\pi\ \text{rad/s}$

El número de ondas se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia angular y el propio número de ondas:

$v = \dfrac{\omega}{k}\;\Rightarrow\; k = \dfrac{\omega}{v}$

$k = \dfrac{10\pi}{350} = \dfrac{\pi}{35} = 8{,}98\cdot10^{-2}\ \text{rad/m}$

Para el desfase inicial se impone la condición del enunciado sobre la elongación en el origen:

$y(0,0) = 5\,\text{sen}(\varphi_0) = 2{,}5\;\Rightarrow\; \text{sen}(\varphi_0) = 0{,}5$

lo que deja dos posibilidades:

$\varphi_0 = \dfrac{\pi}{6}\ \text{rad}\qquad\text{o}\qquad \varphi_0 = \dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$

La segunda condición del enunciado —que la velocidad de oscilación en $(0,0)$ sea negativa— permite descartar una de las dos. Derivando respecto del tiempo:

$v_y(x,t) = \dfrac{\partial y}{\partial t} = -5\cdot10\pi\cos(kx - 10\pi t + \varphi_0)$

$v_y(0,0) = -50\pi\cos(\varphi_0) < 0 \;\Rightarrow\; \cos(\varphi_0) > 0$

Solo $\varphi_0 = \pi/6$ tiene coseno positivo, así que:

$\varphi_0 = \dfrac{\pi}{6}\ \text{rad} = 0{,}52\ \text{rad}$

$\textbf{b) Valor numérico de la velocidad de oscilación en } \boldsymbol{(0,0)}\textbf{ y velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del espacio } \boldsymbol{(x)}\textbf{.}$

Se sustituye el desfase ya conocido en la expresión de la velocidad de oscilación:

$v_y(0,0) = -50\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -50\pi\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$

$v_y(0,0) = -136{,}03\ \text{m/s}$

El signo negativo confirma la condición del enunciado: en ese instante el punto se mueve hacia elongaciones decrecientes.

La velocidad de oscilación es máxima en módulo cuando el coseno vale $\pm1$, es decir, cuando el punto pasa por la posición de equilibrio:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 5\cdot10\pi = 50\pi = 157{,}08\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Aceleración máxima de oscilación de un punto cualquiera } \boldsymbol{(x)}\textbf{, y diferencia de fase (expresada en grados) para un punto cualquiera entre dos instantes de tiempo separados } \boldsymbol{0{,}025\ \text{s}}\textbf{.}$

Derivando de nuevo respecto del tiempo se obtiene la aceleración de oscilación:

$a_y(x,t) = \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\,\omega^2\,\text{sen}(kx - \omega t + \varphi_0)$

que es máxima en módulo cuando el seno vale $\pm1$, o sea en los extremos de la oscilación:

$a_{y,\max} = A\,\omega^2 = 5\cdot(10\pi)^2 = 500\pi^2$

$a_{y,\max} = 4{,}93\cdot10^{3}\ \text{m/s}^2$

Para un mismo punto ($x$ fijo), la diferencia de fase entre dos instantes solo depende del término temporal:

$\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = 10\pi\cdot0{,}025 = 0{,}25\pi = 0{,}785\ \text{rad}$

Y expresada en grados:

$\Delta\varphi = 0{,}25\pi\ \text{rad}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi\ \text{rad}} = 45^\circ$

Un cuarto de vuelta de fase, coherente con que $0{,}025\ \text{s}$ es la cuarta parte del periodo $T = 2\pi/\omega = 0{,}2\ \text{s}$.