Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En un municipio el 5 % de los habitantes son deportistas aficionados. El 0,5 % de estos deportistas aficionados no han superado un test respiratorio. Mientras que de los habitantes no deportistas aficionados el 15 % no han superado el mismo test respiratorio.

a) Elegido un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya superado el test respiratorio? (0,75 puntos)

b) Sabiendo que un habitante elegido al azar no ha superado el test respiratorio, ¿cuál es la probabilidad de que sea deportista aficionado? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Elegido un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya superado el test respiratorio? (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos: $D$ = el habitante es deportista aficionado y $N$ = no ha superado el test respiratorio.

Como el 5 % son deportistas aficionados, el resto no lo son:

$P(D)=0{,}05,\qquad P(\overline{D})=0{,}95$

$P(N/D)=0{,}005,\qquad P(N/\overline{D})=0{,}15$



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(N)=P(D)P(N/D)+P(\overline{D})P(N/\overline{D})=0{,}05\cdot 0{,}005+0{,}95\cdot 0{,}15$

$P(N)=0{,}00025+0{,}1425=0{,}14275$

La probabilidad de que un habitante elegido al azar no haya superado el test respiratorio es 0,14275.

$\textbf{b) Sabiendo que un habitante elegido al azar no ha superado el test respiratorio, ¿cuál es la probabilidad de que sea deportista aficionado? (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(D/N)=\dfrac{P(D)P(N/D)}{P(N)}=\dfrac{0{,}00025}{0{,}14275}=\dfrac{1}{571}\approx 0{,}0018$

Entre los habitantes que no superan el test, la probabilidad de que sean deportistas aficionados es $\frac{1}{571}$, aproximadamente 0,0018: muy por debajo del 5 % de partida, porque casi todos los que fallan el test son no deportistas.