Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}2&4\\1&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-1&3\\1&-5\end{pmatrix}$

a) Calcula $(A-B)^2$. (0,75 puntos)

b) ¿Se podría calcular la matriz inversa de $(A-B)^2$? (0,25 puntos)

c) ¿Qué propiedad tienen que cumplir dos matrices $A$ y $B$ cualesquiera para que se cumpla $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$? (0,5 puntos)

$\textbf{a) Calcula } \boldsymbol{(A-B)^2}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Restamos primero las dos matrices y elevamos después al cuadrado.

$A-B=\begin{pmatrix}2&4\\1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&3\\1&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\0&5\end{pmatrix}$

$(A-B)^2=\begin{pmatrix}3&1\\0&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&1\\0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9+0&3+5\\0+0&0+25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&8\\0&25\end{pmatrix}$

$\textbf{b) ¿Se podría calcular la matriz inversa de } \boldsymbol{(A-B)^2}\textbf{? (0,25 puntos)}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que basta calcularlo.

$\left|(A-B)^2\right|=9\cdot 25-8\cdot 0=225\neq 0$

Sí se podría calcular: al ser el determinante distinto de cero, la matriz $(A-B)^2$ tiene inversa.

$\textbf{c) ¿Qué propiedad tienen que cumplir dos matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ cualesquiera para que se cumpla } \boldsymbol{(A-B)^2=A^2-2AB+B^2}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Desarrollamos el cuadrado sin suponer nada sobre el orden de los factores:

$(A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2$

La igualdad del enunciado exige que $-AB-BA$ sea $-2AB$, es decir:

$AB=BA$

Las dos matrices tienen que conmutar. En general el producto de matrices no es conmutativo, así que la identidad no vale para dos matrices cualesquiera; de hecho las de este ejercicio no conmutan.