Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

La elección de una película ganadora de un festival de cine negro se realiza mediante una votación pública por internet entre las seleccionadas (A, B y C) para la final. El número de votantes es de 1200 personas. El número de votos de A es el doble de los conseguidos por B y C juntas. B consigue el 50 % de votos más que C.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos votos obtuvo cada película. (1,5 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos votos obtuvo cada película. (1,5 puntos)}$

Llamamos $x$ a los votos de la película A, $y$ a los de la B y $z$ a los de la C.

Votan 1200 personas:

$x+y+z=1200$

Los votos de A son el doble de los de B y C juntas:

$x=2(y+z)$

Y B consigue un 50 % más de votos que C:

$y=1{,}5z$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x+y+z=1200\\ x=2(y+z)\\ y=1{,}5z \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)}$

Sustituimos la segunda ecuación en la primera, agrupando $y+z$:

$2(y+z)+(y+z)=1200 \Rightarrow 3(y+z)=1200 \Rightarrow y+z=400$

Con ello ya tenemos los votos de A:

$x=2\cdot 400=800$

Y sustituyendo $y=1{,}5z$ en $y+z=400$:

$1{,}5z+z=400 \Rightarrow 2{,}5z=400 \Rightarrow z=160 \Rightarrow y=240$

Comprobamos que $800+240+160=1200$ votos y que 240 es un 50 % más que 160.

La película A obtuvo 800 votos, la B 240 y la C 160.