Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

En un taller para automóviles el número de clientes a los que cambiaron las ruedas de su coche durante 5 días de esta semana se ajusta a la función $f(x)=2x^3-15x^2+24x+75$, $1\le x\le 5$, siendo $x=1$ el lunes y $x=5$ el viernes.

a) ¿Qué día acuden menos clientes a cambiar las ruedas de su coche? ¿Cuántos clientes son? (0,75 puntos)

b) ¿Cuál es el día que van más clientes a que les cambien las ruedas y cuántos son esos clientes? (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Qué día acuden menos clientes a cambiar las ruedas de su coche? ¿Cuántos clientes son? (0,75 puntos)}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$f'(x)=6x^2-30x+24$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x=\dfrac{5\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1\\ x=4 \end{cases}$

El valor $x=1$ es el extremo izquierdo del intervalo, así que dentro de $[1,5]$ el único punto que separa tramos es $x=4$. Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=12x-30 \Rightarrow f''(4)=18>0$

Al ser positiva, en $x=4$ hay un mínimo relativo, que por ser el único punto crítico del interior del intervalo es también el absoluto.



$f(4)=128-240+96+75=59$

El día que menos clientes acuden es el jueves, con 59 clientes.

$\textbf{b) ¿Cuál es el día que van más clientes a que les cambien las ruedas y cuántos son esos clientes? (0,75 puntos)}$

Como el número de clientes decrece hasta el jueves y crece después, el máximo absoluto está en uno de los dos extremos del intervalo. Los comparamos:

$f(1)=2-15+24+75=86$

$f(5)=250-375+120+75=70$

El día que más clientes van es el lunes, con 86 clientes.