Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} x-t & \text{si } x\le 0\\[4pt] (x-t)^2-5(x+t)+4 & \text{si } x>0 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0,75 puntos)

b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0,+\infty)$. (0,75 puntos)

c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0,+\infty)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en $x=0$.

$f(0)=0-t=-t$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=(0-t)^2-5(0+t)+4=t^2-5t+4$

Igualamos ambas expresiones:

$-t=t^2-5t+4 \Rightarrow t^2-4t+4=0$

El primer miembro es un cuadrado perfecto:

$(t-2)^2=0 \Rightarrow t=2$

La función es continua en $x=0$ únicamente para $t=2$, que es una raíz doble.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=0}\textbf{, calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(0,+\infty)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

En ese intervalo la función es el segundo trozo, que con $t=0$ queda:

$f(x)=x^2-5x+4$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=2x-5$

$f'(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{5}{2}$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=2>0$

Al ser positiva, en $x=\frac{5}{2}$ hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+4=-\dfrac{9}{4}$

La función presenta un mínimo relativo en el punto $\left(\frac{5}{2},-\frac{9}{4}\right)$ y ningún máximo en ese intervalo.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{t=0}\textbf{, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(0,+\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=2x-5$, que es una recta creciente que se anula en $x=\frac{5}{2}$.

$f'(1)=-3<0,\qquad f'(3)=1>0$



La función decrece en $\left(0,\frac{5}{2}\right)$ y crece en $\left(\frac{5}{2},+\infty\right)$.