Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El 10 % de los adultos padece sobrepeso. Se sabe por estudios previos que el riesgo de padecer hipertensión arterial es dos veces mayor en las personas con sobrepeso que las que no tienen sobrepeso y también que la probabilidad de que un adulto sin sobrepeso padezca hipertensión arterial es del 14,8 %.

a) ¿Qué porcentaje de adultos tienen sobrepeso e hipertensión arterial? (0,75 puntos)

b) Si se escoge un adulto al azar y tiene hipertensión arterial, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sobrepeso? (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de adultos tienen sobrepeso e hipertensión arterial? (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos: $S$ = el adulto padece sobrepeso y $H$ = padece hipertensión arterial.

Como el 10 % padece sobrepeso, el resto no lo padece:

$P(S)=0{,}10,\qquad P(\overline{S})=0{,}90$

El enunciado da la probabilidad de hipertensión entre quienes no tienen sobrepeso, y dice que entre los que sí lo tienen el riesgo es el doble:

$P(H/\overline{S})=0{,}148,\qquad P(H/S)=2\cdot 0{,}148=0{,}296$



Lo que se pide es la probabilidad de la intersección, que se obtiene recorriendo la primera rama:

$P(S\cap H)=P(S)P(H/S)=0{,}10\cdot 0{,}296=0{,}0296$

El 2,96 % de los adultos tienen sobrepeso e hipertensión arterial.

$\textbf{b) Si se escoge un adulto al azar y tiene hipertensión arterial, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sobrepeso? (0,75 puntos)}$

Necesitamos antes la probabilidad total de padecer hipertensión:

$P(H)=0{,}10\cdot 0{,}296+0{,}90\cdot 0{,}148=0{,}0296+0{,}1332=0{,}1628$

Y ahora aplicamos el teorema de Bayes:

$P(S/H)=\dfrac{P(S)P(H/S)}{P(H)}=\dfrac{0{,}0296}{0{,}1628}=\dfrac{2}{11}\approx 0{,}1818$

Entre los adultos con hipertensión arterial, la probabilidad de que tengan sobrepeso es $\frac{2}{11}$, aproximadamente 0,1818: casi el doble del 10 % de partida.