Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Una función $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ tiene un máximo en $x=-1$ y un punto de inflexión en el punto $(1,-9)$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{Una función } \boldsymbol{f(x)=x^3+ax^2+bx+c}\textbf{ tiene un máximo en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{ y un punto de inflexión en el punto } \boldsymbol{(1,-9)}\textbf{. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f'(x)=3x^2+2ax+b,\qquad f''(x)=6x+2a$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula, y eso da directamente el primer parámetro:

$f''(1)=6+2a=0 \Rightarrow a=-3$

Que haya un máximo en $x=-1$ obliga a que la derivada se anule allí:

$f'(-1)=3-2a+b=0 \Rightarrow 3+6+b=0 \Rightarrow b=-9$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(1)=1+a+b+c=-9 \Rightarrow 1-3-9+c=-9 \Rightarrow c=2$

Los parámetros son $a=-3$, $b=-9$ y $c=2$, de modo que la función es $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$. Como $f''(-1)=-12<0$, en $x=-1$ hay efectivamente un máximo.