Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una pastelería se elaboran dos tipos de tarta de chocolate (A y B). La primera lleva 100 gramos de chocolate con leche y 200 gramos de chocolate negro y la segunda 200 gramos de chocolate con leche y 100 gramos de chocolate negro. Dispone de 9 kg de cada tipo de chocolate. Por cada tarta A obtiene un beneficio de 5 euros y por cada tarta B de 4 euros.

a) Expresa la función objetivo para obtener un beneficio máximo. (0,25 puntos)

b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)

c) Determina el número de tartas de cada tipo que puede vender para obtener beneficio máximo. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Expresa la función objetivo para obtener un beneficio máximo. (0,25 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de tartas de tipo A e $y$ al de tipo B. Cada tarta A deja 5 euros y cada tarta B, 4 euros, así que el beneficio, que se quiere hacer máximo, es:

$B(x,y)=5x+4y$

$\textbf{b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)}$

Los 9 kg de cada chocolate son 9000 gramos. Ordenamos el consumo en una tabla.

$$	$\text{Chocolate con leche (g)}$	$\text{Chocolate negro (g)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Tarta A } (x)$	$100x$	$200x$	$5x$ $\text{Tarta B } (y)$	$200y$	$100y$	$4y$ $\text{Totales}$	$100x+200y$	$200x+100y$	$5x+4y$

El chocolate con leche disponible son 9000 gramos:

$100x+200y\le 9000 \Rightarrow x+2y\le 90$

Y el chocolate negro, otros 9000:

$200x+100y\le 9000 \Rightarrow 2x+y\le 90$

Como el número de tartas no puede ser negativo, el sistema de inecuaciones queda:

$\begin{cases} x+2y\le 90\\ 2x+y\le 90\\ x\ge 0,\ y\ge 0 \end{cases}$



$\textbf{c) Determina el número de tartas de cada tipo que puede vender para obtener beneficio máximo. (0,25 puntos)}$

El vértice $B$ es el punto donde se cortan las dos restricciones. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y le restamos la segunda:

$\begin{cases} 2x+4y=180\\ 2x+y=90 \end{cases} \Rightarrow 3y=90 \Rightarrow y=30 \Rightarrow x=30$

Por el teorema fundamental de la programación lineal valoramos el beneficio en los cuatro vértices:

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(45,0)=225\ \text{€}$

$B(30,30)=150+120=270\ \text{€}$

$B(0,45)=180\ \text{€}$

El beneficio máximo, 270 €, se obtiene elaborando 30 tartas de cada tipo, que es lo que agota los dos chocolates a la vez.