Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa telefónica ofrece tres modelos de teléfonos: de precio reducido, medio y superior. El precio del teléfono de gama superior es el mismo que el de los otros dos juntos. Vendiendo 50 teléfonos de precio medio se obtiene el mismo dinero que con 30 del superior y por la venta de 5 teléfonos de precio reducido, 5 de medio y 10 de precio superior se obtienen 7500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo. (1 punto)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo. (1 punto)}$

Llamamos $x$ al precio en euros del teléfono de precio reducido, $y$ al del de precio medio y $z$ al del de precio superior.

El de gama superior cuesta lo mismo que los otros dos juntos:

$z=x+y$

Vendiendo 50 teléfonos de precio medio se obtiene lo mismo que con 30 del superior:

$50y=30z$

Y por 5 teléfonos de cada uno de los dos primeros modelos y 10 del superior se obtienen 7500 euros:

$5x+5y+10z=7500$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} z=x+y\\ 50y=30z\\ 5x+5y+10z=7500 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)}$

Simplificamos la tercera ecuación dividiendo entre 5 y sustituimos en ella $x+y=z$:

$x+y+2z=1500 \Rightarrow z+2z=1500 \Rightarrow 3z=1500 \Rightarrow z=500$

De la segunda ecuación sale el precio del modelo medio:

$50y=30\cdot 500=15000 \Rightarrow y=300$

Y de la primera, el del modelo reducido:

$x=500-300=200$

Comprobamos que $5\cdot 200+5\cdot 300+10\cdot 500=1000+1500+5000=7500$ euros.

El teléfono de precio reducido cuesta 200 €, el de precio medio 300 € y el de precio superior 500 €.