Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El tiempo medio de espera en una línea de atención al cliente sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=2$ minutos. Se hace un estudio de los tiempos de espera de 10 clientes al azar, siendo estos tiempos: 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15 y 16 minutos respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera, con un nivel de confianza del 95 %. (1,25 puntos)

b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? (0,75 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera, con un nivel de confianza del 95 \%. (1,25 puntos)}$

La desviación típica es $\sigma=2$ minutos y la muestra tiene tamaño $n=10$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{5+6+7+8+9+11+12+14+15+16}{10}=\dfrac{103}{10}=10{,}3\ \text{min}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}95$, entonces $\alpha=0{,}05$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{2}{\sqrt{10}}\approx 1{,}2396$

$IC=(10{,}3-1{,}2396\,;\,10{,}3+1{,}2396)=(9{,}0604\,;\,11{,}5396)$

Con una confianza del 95 %, el tiempo medio de espera está entre 9,0604 y 11,5396 minutos.

$\textbf{b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? (0,75 puntos)}$

El nivel de confianza no cambia, así que seguimos con $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Imponemos la condición sobre el error y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=1{,}96\cdot\dfrac{2}{\sqrt{n}}<1 \Rightarrow \sqrt{n}>3{,}92$

$n>3{,}92^2=15{,}3664$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, hay que registrar los tiempos de al menos 16 clientes.