Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una ciudad el 1 % de los habitantes ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas. De las personas que han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, el 70 % tiene problemas financieros. De los habitantes que no han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, se sabe que un 5 % tiene problemas financieros.

a) Calcula la probabilidad de que elegido un habitante al azar tenga problemas financieros. (0,75 puntos)

b) Sabiendo que una persona tiene problemas financieros, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Calcula la probabilidad de que elegido un habitante al azar tenga problemas financieros. (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos: $J$ = ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas y $F$ = tiene problemas financieros.

Como el 1 % ha ido a jugar, el resto no lo ha hecho:

$P(J)=0{,}01,\qquad P(\overline{J})=0{,}99$

$P(F/J)=0{,}70,\qquad P(F/\overline{J})=0{,}05$



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(F)=P(J)P(F/J)+P(\overline{J})P(F/\overline{J})=0{,}01\cdot 0{,}70+0{,}99\cdot 0{,}05$

$P(F)=0{,}007+0{,}0495=0{,}0565$

La probabilidad de que un habitante elegido al azar tenga problemas financieros es 0,0565.

$\textbf{b) Sabiendo que una persona tiene problemas financieros, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas? (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad a posteriori, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(J/F)=\dfrac{P(J)P(F/J)}{P(F)}=\dfrac{0{,}007}{0{,}0565}=\dfrac{14}{113}\approx 0{,}1239$

Entre las personas con problemas financieros, la probabilidad de que hayan ido a jugar alguna vez es $\frac{14}{113}$, aproximadamente 0,1239: más de doce veces el 1 % de partida.