Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}3&2&0\\6&1&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-2&2\\0&2\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}5&0\\-4&1\\0&-1\end{pmatrix}$

a) Calcula $M=A\cdot C-(B-I)^{T}$ siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0,75 puntos)

b) Calcula, si es posible, la matriz $X$ tal que $X\cdot B=\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Calcula } \boldsymbol{M=A\cdot C-(B-I)^{T}}\textbf{ siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad de orden 2. (0,75 puntos)}$

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$ y $C$ de orden $3\times 2$, así que el producto es de orden $2\times 2$, el mismo que el de la traspuesta: la resta se puede hacer.

$A\cdot C=\begin{pmatrix}3&2&0\\6&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5&0\\-4&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15-8&0+2\\30-4&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&2\\26&1\end{pmatrix}$

Calculamos ahora el sustraendo:

$B-I=\begin{pmatrix}-2&2\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2\\0&1\end{pmatrix} \Rightarrow (B-I)^{T}=\begin{pmatrix}-3&0\\2&1\end{pmatrix}$

$M=\begin{pmatrix}7&2\\26&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&2\\24&0\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Calcula, si es posible, la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ tal que } \boldsymbol{X\cdot B=\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}\textbf{. (0,75 puntos)}$

El segundo miembro es de orden $1\times 2$ y $B$ de orden $2\times 2$, así que $X$ ha de ser de orden $1\times 2$. Como la incógnita está multiplicada por la derecha, despejamos multiplicando por $B^{-1}$ por ese mismo lado:

$X=\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}\cdot B^{-1}$

La matriz $B$ tiene inversa porque su determinante no es nulo:

$|B|=-2\cdot 2-2\cdot 0=-4 \Rightarrow B^{-1}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2&-2\\0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\[4pt] 0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\[4pt] 0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}$

Sí es posible, y la matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}$.