Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una marca ofrece paquetes de tortitas de arroz de tres tipos: con espelta, con amapola y con chía. Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta. Se venden 40 paquetes más de las de amapola que de las de chía. Los precios de los paquetes para espelta, amapola y chía son respectivamente 2,50, 3,50 y 3 euros obteniendo por la venta de todas las tortitas 1640 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se vendieron. (1,5 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se vendieron. (1,5 puntos)}$

Llamamos $x$ a los paquetes de tortitas con espelta, $y$ a los de amapola y $z$ a los de chía.

Se venden el triple de paquetes de amapola que de espelta:

$y=3x$

Se venden 40 paquetes más de amapola que de chía:

$y=z+40$

Y por la venta de todos ellos, a 2,50, 3,50 y 3 euros el paquete, se obtienen 1640 euros:

$2{,}50x+3{,}50y+3z=1640$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} y=3x\\ y=z+40\\ 2{,}50x+3{,}50y+3z=1640 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)}$

De las dos primeras ecuaciones dejamos todo en función de $x$:

$y=3x,\qquad z=y-40=3x-40$

Sustituimos en la ecuación de las ventas:

$2{,}50x+3{,}50\cdot 3x+3(3x-40)=1640$

$2{,}5x+10{,}5x+9x-120=1640 \Rightarrow 22x=1760 \Rightarrow x=80$

$y=3\cdot 80=240,\qquad z=240-40=200$

Comprobamos que $2{,}5\cdot 80+3{,}5\cdot 240+3\cdot 200=200+840+600=1640$ euros.

Se vendieron 80 paquetes con espelta, 240 con amapola y 200 con chía.