Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} x+t & \text{si } x\le -1\\[4pt] x^3-2x^2+4 & \text{si } x>-1 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=-1$? (0,75 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1,+\infty)$. (0,5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1,+\infty)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Los dos trozos son polinomios, así que basta imponer que los valores laterales coincidan en $x=-1$.

$f(-1)=-1+t$

$\lim_{x\to -1^+}f(x)=(-1)^3-2(-1)^2+4=-1-2+4=1$

$-1+t=1 \Rightarrow t=2$

La función es continua en $x=-1$ para $t=2$.

$\textbf{b) Calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(-1,+\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En ese intervalo la función es el segundo trozo, que no depende del parámetro:

$f(x)=x^3-2x^2+4$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0\\ x=\dfrac{4}{3} \end{cases}$

Los dos pertenecen al intervalo. Comprobamos el signo de la segunda derivada en cada uno:

$f''(x)=6x-4$

$f''(0)=-4<0,\qquad f''\left(\dfrac{4}{3}\right)=4>0$

Luego en $x=0$ hay un máximo relativo y en $x=\frac{4}{3}$ un mínimo relativo. Sus valores son:

$f(0)=4,\qquad f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{64}{27}-\dfrac{32}{9}+4=\dfrac{76}{27}\approx 2{,}8148$

La función presenta un máximo relativo en $(0,4)$ y un mínimo relativo en $\left(\frac{4}{3},\frac{76}{27}\right)$.

$\textbf{c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(-1,+\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=x(3x-4)$ tomando un punto de cada tramo:

$f'\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}+2>0,\qquad f'(1)=3-4=-1<0,\qquad f'(2)=12-8=4>0$



La función crece en $(-1,0)$ y en $\left(\frac{4}{3},+\infty\right)$, y decrece en $\left(0,\frac{4}{3}\right)$.