Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Para hacer un estudio de las horas de duración de la batería de un juguete, se tomó una muestra aleatoria de 10 de estas baterías, siendo el número de horas de duración obtenida de: 4,2, 4,6, 5, 5,7, 5,8, 5,9, 6,1, 6,2, 6,5 y 7,3 respectivamente. Sabiendo que la variable «número de horas de duración de la batería» sigue una distribución normal de desviación típica 2,1 horas, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza para el número medio de horas de duración de la batería con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del número de horas es de 4 horas con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Halla el intervalo de confianza para el número medio de horas de duración de la batería con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)}$

La desviación típica es $\sigma=2{,}1$ horas y la muestra tiene tamaño $n=10$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{4{,}2+4{,}6+5+5{,}7+5{,}8+5{,}9+6{,}1+6{,}2+6{,}5+7{,}3}{10}=\dfrac{57{,}3}{10}=5{,}73\ \text{h}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{2{,}1}{\sqrt{10}}\approx 1{,}4411$

$IC=(5{,}73-1{,}4411\,;\,5{,}73+1{,}4411)=(4{,}2889\,;\,7{,}1711)$

Con una confianza del 97 %, la duración media de la batería está entre 4,2889 y 7,1711 horas.

$\textbf{b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Como $\sigma$ es un dato de la población y no se puede tocar, quedan dos caminos: aumentar el tamaño de la muestra, porque $n$ está en el denominador, o rebajar el nivel de confianza, lo que hace más pequeño $z_{\alpha/2}$.

$\textbf{c) ¿Crees que la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{ del número de horas es de 4 horas con una probabilidad del 90 \%? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}90$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}05=0{,}95 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}645$

$E=1{,}645\cdot\dfrac{2{,}1}{\sqrt{10}}\approx 1{,}0924$

$IC=(5{,}73-1{,}0924\,;\,5{,}73+1{,}0924)=(4{,}6376\,;\,6{,}8224)$

Como 4 no pertenece al intervalo, no es admisible que la media poblacional sea de 4 horas con ese nivel de confianza. Tampoco lo sería con el 97 % del primer apartado, cuyo intervalo es más ancho y tampoco llega a 4.