Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x,y)=6x-2y$ sujeta a las siguientes restricciones:

$x+y\ge 2;\quad x-y\le 2;\quad y\le 1;\quad x\ge 0$

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos)

c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Dibuja la región factible. (1 punto)}$

Representamos las cuatro rectas frontera $x+y=2$, $x-y=2$, $y=1$ y $x=0$, y nos quedamos con el recinto en el que se cumplen las cuatro desigualdades a la vez.



La restricción $x\ge 0$ no llega a tocar el recinto: para $x=0$ harían falta a la vez $y\ge 2$ e $y\le 1$.

$\textbf{b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos)}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\begin{cases} x+y=2\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow A(1,1)$

$\begin{cases} x-y=2\\ y=1 \end{cases} \Rightarrow B(3,1)$

$\begin{cases} x+y=2\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow C(2,0)$

La región factible es el triángulo de vértices $A(1,1)$, $B(3,1)$ y $C(2,0)$.

$\textbf{c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores. (0,25 puntos)}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los tres:

$f(1,1)=6-2=4$

$f(3,1)=18-2=16$

$f(2,0)=12-0=12$

El máximo se alcanza en el punto $B(3,1)$ y vale 16; el mínimo se alcanza en el punto $A(1,1)$ y vale 4.