Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un artesano hace botines, botas de media caña y botas de caña alta, vendiendo cada par, respectivamente, a 150, 200 y 250 euros. La diferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidas equivalen al número de caña media vendidas. El número de caña alta vendidas es la tercera parte de los botines. Por el total de las ventas obtiene 5500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se vendieron. (1 punto)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se vendieron. (1 punto)}$

Llamamos $x$ a los pares de botines vendidos, $y$ a los de botas de media caña y $z$ a los de caña alta.

La diferencia entre los botines y las botas de caña alta es el número de las de media caña:

$x-z=y$

Las de caña alta son la tercera parte de los botines:

$z=\dfrac{x}{3}$

Y por el total de las ventas, a 150, 200 y 250 euros el par, se obtienen 5500 euros:

$150x+200y+250z=5500$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} x-z=y\\ z=\dfrac{x}{3}\\ 150x+200y+250z=5500 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)}$

Sustituimos $z=\frac{x}{3}$ en la primera ecuación:

$y=x-\dfrac{x}{3}=\dfrac{2x}{3}$

Llevamos las dos expresiones a la ecuación de las ventas:

$150x+200\cdot\dfrac{2x}{3}+250\cdot\dfrac{x}{3}=5500$

Multiplicamos por 3 para quitar los denominadores:

$450x+400x+250x=16500 \Rightarrow 1100x=16500 \Rightarrow x=15$

$y=\dfrac{2\cdot 15}{3}=10,\qquad z=\dfrac{15}{3}=5$

Comprobamos que $150\cdot 15+200\cdot 10+250\cdot 5=2250+2000+1250=5500$ euros.

El artesano vendió 15 pares de botines, 10 de botas de media caña y 5 de caña alta.