Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

La función $f(x)=ax^3+bx^2+16x+c$ tiene un punto de inflexión en $(1,10)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{La función } \boldsymbol{f(x)=ax^3+bx^2+16x+c}\textbf{ tiene un punto de inflexión en } \boldsymbol{(1,10)}\textbf{ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es 7. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f'(x)=3ax^2+2bx+16,\qquad f''(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula:

$f''(1)=6a+2b=0 \Rightarrow b=-3a$

La pendiente de la recta tangente en ese punto es el valor de la primera derivada:

$f'(1)=3a+2b+16=7 \Rightarrow 3a+2b=-9$

Sustituimos $b=-3a$:

$3a-6a=-9 \Rightarrow -3a=-9 \Rightarrow a=3 \Rightarrow b=-9$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(1)=a+b+16+c=10 \Rightarrow 3-9+16+c=10 \Rightarrow c=0$

Los parámetros son $a=3$, $b=-9$ y $c=0$, de modo que la función es $f(x)=3x^3-9x^2+16x$.