Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} (x+4)^2-4 & \text{si } x\le -2\\[4pt] t & \text{si } -2<x<2\\[4pt] (x-4)^2-4 & \text{si } x\ge 2 \end{cases}$

a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=-2$. (0,5 puntos)

b) Para $t=3$, representa gráficamente la función $f$. (1 punto)

$\textbf{a) Halla el valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x=-2}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Imponemos que los dos valores laterales coincidan en $x=-2$.

$f(-2)=(-2+4)^2-4=4-4=0$

$\lim_{x\to -2^+}f(x)=t$

$t=0$

La función es continua en $x=-2$ para $t=0$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=3}\textbf{, representa gráficamente la función } \boldsymbol{f}\textbf{. (1 punto)}$

Con $t=3$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} (x+4)^2-4 & \text{si } x\le -2\\ 3 & \text{si } -2<x<2\\ (x-4)^2-4 & \text{si } x\ge 2 \end{cases}$

El primer trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(-4,-4)$, que corta al eje de abscisas en

$(x+4)^2-4=0 \Rightarrow x+4=\pm 2 \Rightarrow x=-6,\ x=-2$

El tercero es la misma parábola trasladada, con vértice en $(4,-4)$ y cortes en $x=2$ y $x=6$. Entre medias, un tramo horizontal a la altura 3.

Como $t=3$ no es el valor del apartado anterior, la función salta en los dos puntos de empalme: las parábolas valen 0 y el tramo constante vale 3. Los círculos huecos marcan los extremos que el tramo horizontal no alcanza.