Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se desea investigar la altura en cm de un tipo de planta, se sabe que la altura sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=15$ cm. Se tomó una muestra aleatoria de 400 plantas de ese tipo y se comprobó que la altura media de dicha muestra era de 110 cm.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la altura de ese tipo de planta, con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Se puede admitir que la media de altura $\mu$ de ese tipo de planta pueda ser de 109 cm con una confianza del 95 %? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\textbf{a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la altura de ese tipo de planta, con un nivel de confianza del 95 \%. (1 punto)}$

Los datos de la muestra son $n=400$, $\bar{x}=110$ cm y $\sigma=15$ cm.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}95$, entonces $\alpha=0{,}05$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{15}{\sqrt{400}}=\dfrac{29{,}4}{20}=1{,}47$

$IC=(110-1{,}47\,;\,110+1{,}47)=(108{,}53\,;\,111{,}47)$

Con una confianza del 95 %, la altura media de ese tipo de planta está entre 108,53 y 111,47 cm.

$\textbf{b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

El nivel de confianza solo interviene a través de $z_{\alpha/2}$: cuanta más confianza se exige, mayor es ese valor crítico y más ancho sale el intervalo. Al aumentar el nivel de confianza el intervalo se ensancha, y al disminuirlo se estrecha; se gana en seguridad lo que se pierde en precisión, y al revés.

$\textbf{c) ¿Se puede admitir que la media de altura } \boldsymbol{\mu}\textbf{ de ese tipo de planta pueda ser de 109 cm con una confianza del 95 \%? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)}$

Basta comprobar si el valor propuesto cae dentro del intervalo del primer apartado:

$108{,}53<109<111{,}47$

Como 109 pertenece al intervalo, sí se puede admitir que la altura media de ese tipo de planta sea de 109 cm con una confianza del 95 %.