Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{si } x<0\\[4pt] t & \text{si } x=0\\[4pt] (x-2)^2 & \text{si } x>0 \end{cases}$

a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=0$. (0,5 puntos)

b) Para $t=2$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)

$\textbf{a) Halla el valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Como la función está definida aparte en el propio punto, los dos límites laterales tienen que coincidir con ese valor, que es $t$.

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=(0+2)^2=4$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=(0-2)^2=4$

Los dos límites laterales valen 4, así que la función es continua en $x=0$ para $t=4$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=2}\textbf{, representa gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (1 punto)}$

Con $t=2$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{si } x<0\\ 2 & \text{si } x=0\\ (x-2)^2 & \text{si } x>0 \end{cases}$

Los dos trozos son parábolas abiertas hacia arriba, simétricas respecto del eje de ordenadas, con vértices en $(-2,0)$ y $(2,0)$:

$f(-4)=4,\qquad f(-2)=0,\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=4$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=4,\qquad f(2)=0,\qquad f(4)=4$

Como $t=2$ no es el valor del apartado anterior, la función no es continua en $x=0$: las dos ramas tienden a 4 y la función vale 2. El círculo hueco marca el valor 4, que no se alcanza, y el punto lleno de la mitad, el $(0,2)$, es un punto aislado de la gráfica.