Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La función $f(x)=ax^2+bx+c$ tiene un máximo en el punto $(0,-3)$ y la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa $x=-1$ es 6. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{La función } \boldsymbol{f(x)=ax^2+bx+c}\textbf{ tiene un máximo en el punto } \boldsymbol{(0,-3)}\textbf{ y la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=-1}\textbf{ es 6. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Calculamos la derivada, que recoge dos de las tres condiciones.

$f'(x)=2ax+b$

Que la función pase por el punto $(0,-3)$ da el término independiente:

$f(0)=c=-3$

Que ese punto sea un máximo obliga a que la derivada se anule allí:

$f'(0)=b=0$

Y la pendiente de la recta tangente en $x=-1$ es el valor de la derivada:

$f'(-1)=-2a+b=6 \Rightarrow -2a=6 \Rightarrow a=-3$

Los parámetros son $a=-3$, $b=0$ y $c=-3$, de modo que la función es $f(x)=-3x^2-3$. Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola está abierta hacia abajo y el punto $(0,-3)$ es efectivamente un máximo.