Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} x+3+t & \text{si } x<1\\[4pt] 3 & \text{si } x=1\\[4pt] (x-3)^2+t & \text{si } x>1 \end{cases}$

a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=1$? (0,5 puntos)

b) Para $t=0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1,+\infty)$. (0,5 puntos)

c) Para $t=0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1,+\infty)$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=1}\textbf{? (0,5 puntos)}$

Como la función está definida aparte en el propio punto, los dos límites laterales tienen que coincidir con ese valor, que es 3.

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=1+3+t=4+t$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=(1-3)^2+t=4+t$

Los dos límites laterales son iguales entre sí, así que basta igualarlos a $f(1)=3$:

$4+t=3 \Rightarrow t=-1$

La función es continua en $x=1$ para $t=-1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=0}\textbf{, calcula los extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{(1,+\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En ese intervalo la función es el tercer trozo, que con $t=0$ queda:

$f(x)=(x-3)^2$

Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=2(x-3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x=3$

Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$f''(x)=2>0$

Al ser positiva, en $x=3$ hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f(3)=(3-3)^2=0$

La función presenta un mínimo relativo en el punto $(3,0)$ y ningún máximo en ese intervalo.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{t=0}\textbf{, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{(1,+\infty)}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Estudiamos el signo de $f'(x)=2(x-3)$, que es una recta creciente que se anula en $x=3$.

$f'(2)=-2<0,\qquad f'(4)=2>0$



La función decrece en $(1,3)$ y crece en $(3,+\infty)$.