Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un terreno se dispone de 18 hectáreas para sembrar aguacates y mangos. Para los aguacates deseamos destinar como mucho 16 hectáreas. Por cada hectárea sembrada de aguacates y mangos se obtiene 10000 y 12000 euros respectivamente. Se quiere que la superficie correspondiente a los mangos no sea mayor que la que ocupen los aguacates.

a) Expresa la función objetivo. (0,25 puntos)

b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)

c) Determina cuántas hectáreas de cada tipo se debe dedicar a cada producto para conseguir máximo beneficio. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Expresa la función objetivo. (0,25 puntos)}$

Llamamos $x$ a las hectáreas sembradas de aguacates e $y$ a las sembradas de mangos. Cada hectárea de aguacates produce 10000 € y cada una de mangos 12000 €, así que el beneficio, que se quiere hacer máximo, es:

$B(x,y)=10000x+12000y$

$\textbf{b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1 punto)}$

El terreno disponible son 18 hectáreas:

$x+y\le 18$

A los aguacates se les destinan como mucho 16 hectáreas:

$x\le 16$

La superficie de mangos no puede superar a la de aguacates:

$y\le x$

Y ninguna superficie puede ser negativa. Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\le 18\\ x\le 16\\ y\le x\\ x\ge 0,\ y\ge 0 \end{cases}$



$\textbf{c) Determina cuántas hectáreas de cada tipo se debe dedicar a cada producto para conseguir máximo beneficio. (0,25 puntos)}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\begin{cases} y=x\\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

$\begin{cases} x=16\\ y=0 \end{cases} \Rightarrow A(16,0)$

$\begin{cases} x=16\\ x+y=18 \end{cases} \Rightarrow B(16,2)$

$\begin{cases} y=x\\ x+y=18 \end{cases} \Rightarrow 2x=18 \Rightarrow C(9,9)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal valoramos el beneficio en los cuatro:

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(16,0)=160000\ \text{€}$

$B(16,2)=160000+24000=184000\ \text{€}$

$B(9,9)=90000+108000=198000\ \text{€}$

El beneficio máximo, 198000 €, se consigue dedicando 9 hectáreas a los aguacates y 9 a los mangos.