Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una carpintería ofrece tres modelos de mesas cuyo precio varía en función del tipo de madera utilizada y lo clasifica en: gama baja, media y superior. El precio de la mesa de gama superior es el mismo que de las otras dos juntas. Vendiendo 50 mesas de gama media se obtiene el mismo dinero que con 30 de la superior y por la venta de 5 mesas de gama baja, 5 de media y 10 de gama superior se obtienen 7500 euros.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo de mesa. (1 punto)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada modelo de mesa. (1 punto)}$

Llamamos $x$ al precio en euros de la mesa de gama baja, $y$ al de la de gama media y $z$ al de la de gama superior.

La de gama superior cuesta lo mismo que las otras dos juntas:

$z=x+y$

Vendiendo 50 mesas de gama media se obtiene lo mismo que con 30 de la superior:

$50y=30z$

Y por 5 mesas de cada una de las dos primeras gamas y 10 de la superior se obtienen 7500 euros:

$5x+5y+10z=7500$

El sistema pedido es:

$\begin{cases} z=x+y\\ 50y=30z\\ 5x+5y+10z=7500 \end{cases}$

$\textbf{b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0,5 puntos)}$

Simplificamos la tercera ecuación dividiendo entre 5 y sustituimos en ella $x+y=z$:

$x+y+2z=1500 \Rightarrow z+2z=1500 \Rightarrow 3z=1500 \Rightarrow z=500$

De la segunda ecuación sale el precio de la gama media:

$50y=30\cdot 500=15000 \Rightarrow y=300$

Y de la primera, el de la gama baja:

$x=500-300=200$

Comprobamos que $5\cdot 200+5\cdot 300+10\cdot 500=1000+1500+5000=7500$ euros.

La mesa de gama baja cuesta 200 €, la de gama media 300 € y la de gama superior 500 €.