Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Dadas las matrices $M=\begin{pmatrix}-2&-3\\1&1\end{pmatrix}$ y $N=\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}$ comprueba que $(M\cdot N)^{-1}=N^{-1}\cdot M^{-1}$. (1 punto)

b) Resuelve la ecuación $M\cdot X=N$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Dadas las matrices } \boldsymbol{M=\begin{pmatrix}-2&-3\\1&1\end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{N=\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}}\textbf{ comprueba que } \boldsymbol{(M\cdot N)^{-1}=N^{-1}\cdot M^{-1}}\textbf{. (1 punto)}$

Calculamos los dos miembros por separado. Para el primero necesitamos el producto:

$M\cdot N=\begin{pmatrix}-2&-3\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-3&4+3\\1+1&-2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&7\\2&-3\end{pmatrix}$

Su determinante no es nulo, así que tiene inversa. Para una matriz de orden 2 usamos la fórmula

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

$|M\cdot N|=15-14=1 \Rightarrow (M\cdot N)^{-1}=\begin{pmatrix}-3&-7\\-2&-5\end{pmatrix}$

Para el segundo miembro calculamos las dos inversas por separado:

$|M|=-2+3=1 \Rightarrow M^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\\-1&-2\end{pmatrix}$

$|N|=-1+2=1 \Rightarrow N^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}$

$N^{-1}\cdot M^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&3\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-2&-3-4\\-1-1&-3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-7\\-2&-5\end{pmatrix}$

Las dos matrices coinciden elemento a elemento, luego se cumple la igualdad. Obsérvese que el orden se invierte: la inversa de un producto es el producto de las inversas cambiadas de orden.

$\textbf{b) Resuelve la ecuación } \boldsymbol{M\cdot X=N}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Como la incógnita está multiplicada por la izquierda, despejamos multiplicando por $M^{-1}$ por ese mismo lado:

$M^{-1}\cdot M\cdot X=M^{-1}\cdot N \Rightarrow X=M^{-1}\cdot N$

Usamos la inversa ya calculada en el apartado anterior:

$X=\begin{pmatrix}1&3\\-1&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+3&-2-3\\-1-2&2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-5\\-3&4\end{pmatrix}$