Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azúcar de 10 latas de refresco de cola y ha resultado ser: 70, 75, 85, 100, 60, 80, 120, 95, 65 y 90. Suponiendo que el contenido en azúcar en gramos de una lata de refresco de cola se distribuye según una ley normal de desviación típica $\sigma=10$ gramos, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza del 97 % para el contenido medio de azúcar en una lata de refresco de cola. (1 punto)

b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de azúcar es de 90 gramos con una probabilidad del 98,5 %? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Halla el intervalo de confianza del 97 \% para el contenido medio de azúcar en una lata de refresco de cola. (1 punto)}$

La desviación típica es $\sigma=10$ gramos y la muestra tiene tamaño $n=10$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{70+75+85+100+60+80+120+95+65+90}{10}=\dfrac{840}{10}=84\ \text{g}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{10}{\sqrt{10}}\approx 6{,}8622$

$IC=(84-6{,}8622\,;\,84+6{,}8622)=(77{,}1378\,;\,90{,}8622)$

Con una confianza del 97 %, el contenido medio de azúcar está entre 77,1378 y 90,8622 gramos.

$\textbf{b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ aparece en el denominador, la única forma de reducir la amplitud es analizar más latas, es decir, aumentar el tamaño de la muestra.

$\textbf{c) ¿Crees que la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{ del contenido en gramos de azúcar es de 90 gramos con una probabilidad del 98,5 \%? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha=0{,}985$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}0075=0{,}9925 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}43$

$E=2{,}43\cdot\dfrac{10}{\sqrt{10}}\approx 7{,}6843$

$IC=(84-7{,}6843\,;\,84+7{,}6843)=(76{,}3157\,;\,91{,}6843)$

Como 90 pertenece al intervalo, sí es admisible que la media poblacional sea de 90 gramos con ese nivel de confianza. De hecho también cae dentro del intervalo del 97 % del primer apartado, aunque muy cerca de su extremo superior.