Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se localiza un compuesto nocivo en un río obteniéndose que su proporción durante cinco días consecutivos de análisis de muestras sigue la función $N(x)=\frac{1}{100}(-4x^4+128x^2+54)$ con $x=$ días y $(1\le x\le 5)$.

a) ¿Cuál es la proporción el tercer día? (0,25 puntos)

b) Determina qué día se obtiene el máximo y qué día se obtiene el mínimo. (1 punto)

c) ¿A qué valor ascienden ambos? (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Cuál es la proporción el tercer día? (0,25 puntos)}$

Basta sustituir el día en la función.

$N(3)=\dfrac{1}{100}(-4\cdot 81+128\cdot 9+54)=\dfrac{1}{100}(-324+1152+54)$

$N(3)=\dfrac{882}{100}=8{,}82$

El tercer día la proporción del compuesto es 8,82.

$\textbf{b) Determina qué día se obtiene el máximo y qué día se obtiene el mínimo. (1 punto)}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$N'(x)=\dfrac{1}{100}(-16x^3+256x)$

$N'(x)=0 \Rightarrow -16x(x^2-16)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0\\ x=4\\ x=-4 \end{cases}$

De los tres solo $x=4$ pertenece al intervalo $[1,5]$. Comprobamos el signo de la segunda derivada:

$N''(x)=\dfrac{1}{100}(-48x^2+256) \Rightarrow N''(4)=\dfrac{-768+256}{100}=-5{,}12<0$

Al ser negativa, en $x=4$ hay un máximo relativo, que por ser el único punto crítico del intervalo es también el absoluto.



Como la proporción crece hasta el cuarto día y decrece después, el mínimo absoluto está en uno de los extremos del intervalo. Los valoramos:

$N(1)=\dfrac{-4+128+54}{100}=1{,}78,\qquad N(5)=\dfrac{-2500+3200+54}{100}=7{,}54$

El máximo se obtiene el cuarto día y el mínimo el primero.

$\textbf{c) ¿A qué valor ascienden ambos? (0,75 puntos)}$

Solo queda valorar la función en el día del máximo, porque el del mínimo ya está calculado.

$N(4)=\dfrac{1}{100}(-4\cdot 256+128\cdot 16+54)=\dfrac{-1024+2048+54}{100}=10{,}78$

La proporción máxima es 10,78, el cuarto día, y la mínima 1,78, el primero.