Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} -(x-t)^3 & \text{si } x<0\\[4pt] -2 & \text{si } x=0\\[4pt] x^2-2 & \text{si } x>0 \end{cases}$

a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x=0$. (0,5 puntos)

b) Para $t=-1$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)

$\textbf{a) Halla el valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x=0}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Como la función está definida aparte en el propio punto, los dos límites laterales tienen que coincidir con ese valor, que es $-2$.

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=0^2-2=-2$

El límite por la derecha ya coincide con $f(0)$, así que la condición recae sobre el de la izquierda:

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=-(0-t)^3=t^3$

$t^3=-2 \Rightarrow t=-\sqrt[3]{2}\approx -1{,}26$

La función es continua en $x=0$ para $t=-\sqrt[3]{2}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{t=-1}\textbf{, representa gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (1 punto)}$

Con $t=-1$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} -(x+1)^3 & \text{si } x<0\\ -2 & \text{si } x=0\\ x^2-2 & \text{si } x>0 \end{cases}$

El primer trozo es una cúbica decreciente que corta al eje de abscisas en $x=-1$, donde además tiene su punto de inflexión. Algunos valores:

$f(-3)=-(-2)^3=8,\qquad f(-2)=-(-1)^3=1,\qquad f(-1)=0$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=-(1)^3=-1$

El tercer trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(0,-2)$:

$f(2)=2,\qquad f(3)=7$

Como $t=-1$ no es el valor del apartado anterior, la función no es continua en $x=0$: por la derecha enlaza con $f(0)=-2$, pero por la izquierda tiende a $-1$, valor que marca el círculo hueco.