Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La función $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ tiene un punto de inflexión en $(-1,6)$ y en el punto de abscisa $x=-2$ la pendiente de la recta tangente es $-4$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{La función } \boldsymbol{f(x)=ax^3+bx^2+cx}\textbf{ tiene un punto de inflexión en } \boldsymbol{(-1,6)}\textbf{ y en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=-2}\textbf{ la pendiente de la recta tangente es } \boldsymbol{-4}\textbf{. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Calculamos las dos primeras derivadas, que son las que recogen las condiciones del enunciado.

$f'(x)=3ax^2+2bx+c,\qquad f''(x)=6ax+2b$

En un punto de inflexión la segunda derivada se anula:

$f''(-1)=-6a+2b=0 \Rightarrow b=3a$

La pendiente de la recta tangente en $x=-2$ es el valor de la primera derivada:

$f'(-2)=12a-4b+c=-4$

Sustituimos $b=3a$ y los términos en $a$ se cancelan:

$12a-12a+c=-4 \Rightarrow c=-4$

Falta imponer que la función pase por el punto de inflexión:

$f(-1)=-a+b-c=6 \Rightarrow -a+3a+4=6 \Rightarrow 2a=2 \Rightarrow a=1$

$b=3\cdot 1=3$

Los parámetros son $a=1$, $b=3$ y $c=-4$, de modo que la función es $f(x)=x^3+3x^2-4x$.