Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En el siguiente problema de programación lineal maximiza la función $f(x,y)=12x-2y$ sujeta a las siguientes restricciones:

$\begin{array}{l} x\ge y\\ x+y\ge 0\\ x\le 3 \end{array}$

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos)

c) Indica el máximo del problema dado y su valor. (0,25 puntos)

$\textbf{a) Dibuja la región factible. (1 punto)}$

Las tres restricciones son semiplanos: $x\ge y$ deja por debajo de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, $x+y\ge 0$ deja por encima de la del segundo y cuarto, y $x\le 3$ corta por la derecha.



La región factible es el triángulo coloreado, que las dos bisectrices abren desde el origen y la recta $x=3$ cierra.

$\textbf{b) Determina los vértices de la región factible. (0,25 puntos)}$

Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$\begin{cases} x=y\\ x+y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

$\begin{cases} x=y\\ x=3 \end{cases} \Rightarrow A(3,3)$

$\begin{cases} x+y=0\\ x=3 \end{cases} \Rightarrow B(3,-3)$

Los vértices son $O(0,0)$, $A(3,3)$ y $B(3,-3)$.

$\textbf{c) Indica el máximo del problema dado y su valor. (0,25 puntos)}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que valoramos la función objetivo en los tres:

$f(0,0)=0$

$f(3,3)=36-6=30$

$f(3,-3)=36+6=42$

El máximo se alcanza en el punto $B(3,-3)$ y vale 42.