Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

El tiempo de publicidad (en minutos) en una emisora de radio a lo largo de la semana viene dado por la siguiente función $S(x)=x^3-\frac{21}{2}x^2+30x+36$ con $x=$ días y $1\le x\le 7$.

a) ¿Cuántos minutos de publicidad emite el tercer día? (0,5 puntos)

b) ¿Durante qué día se emite más publicidad y cuánto tiempo? (0,75 puntos)

c) ¿Qué día emitieron menos publicidad? ¿Cuántos minutos? (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Cuántos minutos de publicidad emite el tercer día? (0,5 puntos)}$

Basta sustituir el día en la función.

$S(3)=27-\dfrac{21}{2}\cdot 9+90+36=27-94{,}5+126=58{,}5$

El tercer día se emiten 58,5 minutos de publicidad.

$\textbf{b) ¿Durante qué día se emite más publicidad y cuánto tiempo? (0,75 puntos)}$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos.

$S'(x)=3x^2-21x+30$

$S'(x)=0 \Rightarrow x^2-7x+10=0 \Rightarrow x=\dfrac{7\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=2\\ x=5 \end{cases}$

Comprobamos el signo de la segunda derivada en cada uno:

$S''(x)=6x-21$

$S''(2)=-9<0,\qquad S''(5)=9>0$

Luego en $x=2$ hay un máximo relativo y en $x=5$ un mínimo relativo.



Como el intervalo es cerrado, el máximo absoluto puede estar también en un extremo, así que valoramos los cuatro puntos:

$S(1)=1-10{,}5+30+36=56{,}5$

$S(2)=8-42+60+36=62$

$S(5)=125-262{,}5+150+36=48{,}5$

$S(7)=343-514{,}5+210+36=74{,}5$

El día que más publicidad se emite es el séptimo, con 74,5 minutos.

$\textbf{c) ¿Qué día emitieron menos publicidad? ¿Cuántos minutos? (0,75 puntos)}$

De los cuatro valores anteriores el más pequeño es el del mínimo relativo, así que ese mínimo relativo es también el absoluto del intervalo.

El día que menos publicidad se emitió fue el quinto, con 48,5 minutos.