Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera la función $f(x)=\begin{cases} (x+2)^2+t & \text{si } x<-1\\[4pt] 3 & \text{si } -1\le x\le 2\\[4pt] x^2-6x+9+t & \text{si } x>2 \end{cases}$

a) ¿Existe un valor de $t$ para el que la función $f(x)$ es continua en $x=-1$ y en $x=2$? (0,75 puntos)

b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $t=0$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Existe un valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para el que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{ y en } \boldsymbol{x=2}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Imponemos por separado la continuidad en cada uno de los dos puntos de empalme, teniendo en cuenta que en los dos el valor de la función lo da el tramo constante, que vale 3.

En $x=-1$:

$\lim_{x\to -1^-}f(x)=(-1+2)^2+t=1+t$

$1+t=3 \Rightarrow t=2$

En $x=2$:

$\lim_{x\to 2^+}f(x)=4-12+9+t=1+t$

$1+t=3 \Rightarrow t=2$

Las dos condiciones dan lo mismo, así que sí existe: la función es continua en los dos puntos a la vez para $t=2$.

$\textbf{b) Representa gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{t=0}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con $t=0$ la función queda:

$f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{si } x<-1\\ 3 & \text{si } -1\le x\le 2\\ x^2-6x+9 & \text{si } x>2 \end{cases}$

El primer trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(-2,0)$, que se acerca a

$\lim_{x\to -1^-}f(x)=1$

El segundo es un tramo horizontal a la altura 3 entre $x=-1$ y $x=2$.

El tercero se reconoce como un cuadrado perfecto:

$x^2-6x+9=(x-3)^2$

luego es una parábola de vértice $(3,0)$ que arranca en $\lim_{x\to 2^+}f(x)=1$ y llega a $f(6)=9$.

Como $t=0$ no es el valor del apartado anterior, la función salta en los dos puntos de empalme: en ambos las parábolas se quedan en 1 y el tramo constante vale 3. Los círculos huecos marcan los valores que las parábolas no llegan a tomar.