Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}0&-2\\2&-6\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&-1\\5&4\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0&9\\3&5\end{pmatrix}$.

a) Resuelve la ecuación matricial $X+X\cdot\frac{1}{2}A=A\cdot B$. (1,5 puntos)

b) Calcula $-\frac{1}{2}A-2B^{T}+C$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Resuelve la ecuación matricial } \boldsymbol{X+X\cdot\frac{1}{2}A=A\cdot B}\textbf{. (1,5 puntos)}$

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita está por la izquierda, así que la sacamos factor común por ese lado, dejando la identidad donde no hay nada que multiplicar:

$X+X\cdot\dfrac{1}{2}A=X\cdot\left(I+\dfrac{1}{2}A\right)=A\cdot B$

$X=A\cdot B\cdot\left(I+\dfrac{1}{2}A\right)^{-1}$

Calculamos las dos piezas. Primero el paréntesis y su inversa:

$I+\dfrac{1}{2}A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\1&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-2\end{pmatrix}$

$\left|I+\dfrac{1}{2}A\right|=-2+1=-1 \Rightarrow \left(I+\dfrac{1}{2}A\right)^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}$

Y ahora el producto del segundo miembro:

$A\cdot B=\begin{pmatrix}0&-2\\2&-6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&-1\\5&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10&-8\\-30&-26\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-10&-8\\-30&-26\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20-8&10+8\\-60-26&30+26\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-28&18\\-86&56\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Calcula } \boldsymbol{-\frac{1}{2}A-2B^{T}+C}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Calculamos por separado los tres sumandos y después los sumamos elemento a elemento.

$-\dfrac{1}{2}A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&3\end{pmatrix},\qquad 2B^{T}=2\begin{pmatrix}0&5\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&10\\-2&8\end{pmatrix}$

$-\dfrac{1}{2}A-2B^{T}+C=\begin{pmatrix}0-0+0&1-10+9\\-1+2+3&3-8+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\4&0\end{pmatrix}$

El resultado es una matriz con un único elemento no nulo.