Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El tiempo empleado para resolver un problema de Estadística sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma=6{,}4$ minutos. Se ha tomado una muestra de 9 personas y los tiempos empleados en resolver el problema han sido 12, 11, 10, 9, 7, 12, 11, 8 y 10 minutos.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo empleado en resolver el problema con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 3 minutos. (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\textbf{a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo empleado en resolver el problema con un nivel de confianza del 97 \%. (1 punto)}$

La desviación típica es $\sigma=6{,}4$ minutos y la muestra tiene tamaño $n=9$. Calculamos su media:

$\bar{x}=\dfrac{12+11+10+9+7+12+11+8+10}{9}=\dfrac{90}{9}=10\ \text{min}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha=0{,}97$, entonces $\alpha=0{,}03$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{6{,}4}{3}\approx 4{,}6293$

$IC=(10-4{,}6293\,;\,10+4{,}6293)=(5{,}3707\,;\,14{,}6293)$

Con una confianza del 97 %, el tiempo medio empleado en resolver el problema está entre 5,3707 y 14,6293 minutos.

$\textbf{b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 3 minutos. (1 punto)}$

El nivel de confianza no cambia, así que seguimos con $z_{\alpha/2}=2{,}17$. Imponemos la condición sobre el error y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=2{,}17\cdot\dfrac{6{,}4}{\sqrt{n}}<3 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{13{,}888}{3}\approx 4{,}6293$

$n>4{,}6293^2\approx 21{,}43$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, hay que preguntar al menos a 22 personas.