Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En un concurso se les proponen a los participantes 3 pruebas ($A$, $B$ y $C$) de las que han de elegir una. El 40 % de los participantes eligen la prueba $A$, superándola el 50 % de estos. El 25 % eligen la prueba $B$ y en este caso la prueba no es superada por el 45 % de los participantes. La prueba $C$ la superan el 60 % de los participantes que la escogen.

a) Elegido un participante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya superado la prueba? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que un participante no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la prueba $A$? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Elegido un participante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya superado la prueba? (0,75 puntos)}$

Nombramos los sucesos por el nombre de la prueba elegida, $A$, $B$ y $C$, y llamamos $S$ = superar la prueba.

Como la prueba $A$ la elige el 40 % y la $B$ el 25 %, la $C$ la elige el resto:

$P(A)=0{,}40,\qquad P(B)=0{,}25,\qquad P(C)=0{,}35$

Del enunciado, de la prueba $B$ se da el porcentaje de los que NO la superan, así que hay que pasar al contrario:

$P(S/A)=0{,}50,\qquad P(S/B)=1-0{,}45=0{,}55,\qquad P(S/C)=0{,}60$



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(S)=0{,}40\cdot 0{,}50+0{,}25\cdot 0{,}55+0{,}35\cdot 0{,}60$

$P(S)=0{,}20+0{,}1375+0{,}21=0{,}5475$

La probabilidad de que un participante elegido al azar haya superado la prueba es 0,5475.

$\textbf{b) Si se sabe que un participante no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la prueba } \boldsymbol{A}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Del apartado anterior obtenemos la probabilidad de no superar la prueba pasando al suceso contrario:

$P(\overline{S})=1-0{,}5475=0{,}4525$

Y ahora aplicamos el teorema de Bayes:

$P(A/\overline{S})=\dfrac{P(A)P(\overline{S}/A)}{P(\overline{S})}=\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}50}{0{,}4525}=\dfrac{0{,}20}{0{,}4525}=\dfrac{80}{181}\approx 0{,}4420$

Entre los participantes que no han superado la prueba, la probabilidad de que hubieran elegido la $A$ es $\frac{80}{181}$, aproximadamente 0,4420.