Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

La función $f(x)=ax^3+bx+c$ presenta un mínimo en el punto $(2,1)$ y la pendiente de la recta tangente en $x=0$ es $-12$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1,5 puntos)

$\textbf{La función } \boldsymbol{f(x)=ax^3+bx+c}\textbf{ presenta un mínimo en el punto } \boldsymbol{(2,1)}\textbf{ y la pendiente de la recta tangente en } \boldsymbol{x=0}\textbf{ es } \boldsymbol{-12}\textbf{. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Calculamos la derivada, que recoge dos de las tres condiciones.

$f'(x)=3ax^2+b$

La pendiente de la recta tangente en $x=0$ es el valor de la derivada en ese punto:

$f'(0)=b=-12$

Que haya un mínimo en $(2,1)$ obliga a que la derivada se anule allí:

$f'(2)=12a+b=0 \Rightarrow 12a-12=0 \Rightarrow a=1$

Y a que la función pase por ese punto:

$f(2)=8a+2b+c=1 \Rightarrow 8-24+c=1 \Rightarrow c=17$

Los parámetros son $a=1$, $b=-12$ y $c=17$, de modo que la función es $f(x)=x^3-12x+17$. Como $f''(x)=6x$ y $f''(2)=12>0$, el punto $(2,1)$ es efectivamente un mínimo.